人教版九年级上二次根式教案

第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．（3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·；=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．教学难点1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．21．1二次根式第一课时教学目标理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．教学重难点关键1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．二、探索新知因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，有意义吗？例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)(2)若+=0，求a2010+b2010的值．五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A．-B．C．D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．B．C．D．3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5B．C．D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？3．若+有意义，则=_______．4.使式子有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．21.1二次根式(2)第二课时教学目标理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？二、探究新知（a≥0）是一个什么数呢？（a≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．（）2=a（a≥0）例1计算1．（）22．（3）23．（）24．（）2三、巩固练习计算下列各式的值：（）2（）2（）2（）2（4）2四、应用拓展例2计算：1．（）2（x≥0）；2．（）2；3．（）2；4．（）2所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3五、归纳小结本节课应掌握：1．（a≥0）是一个非负数；2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．第二课时作业设计一、选择题1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）．A．4B．3C．2D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0B．a≥0C．a<0D．a=0二、填空题1．（-）2=________．2．已知有意义，那么是一个_______数．三、综合提高题1．计算（1）（）2（2）-（）2（3）（）2（4）（-3）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5（2）3.4（3）（4）x（x≥0）3．已知+=0，求xy的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2（2）x4-93x2-521.1二次根式(3)第三课时教学目标理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1．重点：＝a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；2．（a≥0）是一个非负数；3．()2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=___；=___；=___；=___；=___；=___．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=2；=0.01；=；=；=0；=．因此，一般地：=a（a≥0）例1化简（1）（2）（3）（4）四、应用拓展例2填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．（1）若=a，则a可以是什么数？（2）若=-a，则a可以是什么数？（3）>a，则a可以是什么数？例3当x>2，化简-．五、归纳小结本节课应掌握：=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．第三课时作业设计一、选择题1．的值是（）．A．0B．C．4D．以上都不对2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．A．=≥-B．>>-C．<<-D．->=二、填空题1．-=________．2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）3.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。21．2二次根式的乘除第一课时教学目标理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或==×．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1）×=_______，=______；（2）×=_______，=________．（3）×=________，=_______．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×________2．利用计算器计算填空（1）×______，（2）×______，（3）×______，（4）×______，（5）×______．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a≥0，b≥0）反过来:=·（a≥0，b≥0）例1．计算（1）×（2）×（3）×（4）×分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．例2化简（1）（2）（3）（4）（5）三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①×②3×2③·(2)化简:;;;;教材P11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=8五、归纳小结本节课应掌握：（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．第一课时作业设计一、选择题1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（）．A．3cmB．3cmC．9cmD．27cm2．化简a的结果是（）．A．B．C．-D．-3．等式成立的条件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．4×2=8B．5×4=20C．4×3=7D．5×4=20二、填空题1．=_______．2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）2=验证：2=×====（2）3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．21．2二次根式的乘除第二课时教学目标理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1）=________，=_________；（2）=________，=________；（3）=________，=_________；（4）=________，=________．规律：______；______；_______；_______．二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0），反过来，=（a≥0，b>0）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：（1）（2）（3）（4）分析：上面4小题利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．例2．化简：（1）（2）（3）（4）分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．四、应用拓展例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．五、归纳小结本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．第二课时作业设计一、选择题1．计算的结果是（）．A．B．C．D．2．阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（）．A．2B．6C．D．二、填空题1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)=______.2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1）·（-）÷（m>0，n>0）（2）-3÷（）×（a>0）21.2二次根式的乘除(3)第三课时教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1），（2），（3）老师点评：=，=，=2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_________．它们的比是．二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．=.例1．(1);(2);(3)例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．第三课时作业设计一、选择题1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0）D．以上都不对2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（）．A．B．C．-D．-3．在下列各式中，化简正确的是（）A．=3B．=±C．=a2D．=x4．化简的结果是（）A．-B．-C．-D．-二、填空题1．化简=_________．（x≥0）2．a化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：解：-a=a-a·=（a-1）2．若x、y为实数，且y=，求的值．21.3二次根式的加减(1)第一课时教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）2+3（2）2-3+5（3）+2+3（4）3-2+所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算（1）+（2）+分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．例2．计算（1）3-9+3（2）（+）+（-）四、应用拓展例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．第一课时作业设计一、选择题1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（）．A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．三、综合提高题1．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．21.3二次根式的加减(2)第二课时教学目标运用二次根式、化简解应用题．通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．二、探索新知例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值．例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度．四、应用拓展例3．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．作业设计一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（结果用最简二次根式）A．5B．C．2D．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．13B．C．10D．5二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．21.3二次根式的加减(3)第三课时教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点及关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf 整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（+）×（2）（4-3）÷2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．例2．计算（1）（+6）（3-）（2）（+）（-）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．四、应用拓展例3．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．作业设计一、选择题1．（-3+2）×的值是（）．A．-3B．3-C．2-D．-2．计算（+）（-）的值是（）．A．2B．3C．4D．1二、填空题1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若x=-1，则x2+2x+1=________．4．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题1．化简2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．A．与B．与C．与D．与2．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式．练习：+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．--的有理化因式是_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1）；（2）；（3）；（4）．4．其它材料：如果n是任意正整数，那么=n理由：==n练习：填空=_______；=________；=_______．