第十三章 轴对称线段的垂直分平分线的性质八年级上册创设情境，引入新知 问
题
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1 如图，小聪在A处，小明在B处，他们两人做抢礼物的游戏，问：礼物放在何处游戏才公平？BA 追问 什么叫线段的垂直平分线？BA 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．创设情境，引入新知 问题2 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l上的点，试猜想点P1，P2，P3，到点A与点B的距离之间的数量关系.猜想验证，探索性质ABlP1P2P3点P1，P2，P3，到点A与点B之间的距离相等． 追问 你能用不同的
方法
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验证这一结论吗？ABlP1P2P3如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B都是重合的，因此它们也分别相等．猜想验证，探索性质 问题3 若在图中的直线l上任取一点P，那么这一点P与线段AB两个端点的距离相等吗？由此你能得出线段的垂直平分线有什么性质？线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．ABPCl猜想验证，探索性质 问题4 你能证明线段的垂直平分线的性质吗？ABPCl 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上． 求证：PA=PB． 证明：“线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等．”猜想验证，探索性质 问题4 你能证明线段的垂直平分线的性质吗？ 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB． 又AC=CB，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）． ∴PA=PB．ABPCl猜想验证，探索性质 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．用符号语言表示为：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．ABPCl猜想验证，探索性质 问题5 “线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的题设和结论分别是什么？交换题设和结论，你又能得到一个怎样的命题？结论：与这条线段两个端点的距离相等．题设：线段垂直平分线上的点．命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．猜想验证，探索性质 追问1 “与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”这个命题是真命题吗？怎样证明？已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PAB猜想验证，探索性质证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵ PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．猜想验证，探索性质性质：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 用数学符号表示为：∵ PA=PB，∴ 点P在AB的垂直平分线上．PABC猜想验证，探索性质 追问2 “与一条线段两个端点距离相等的点”有多少个？这些点组成了什么图形？ “与一条线段两个端点距离相等的点”有无数个，这些点组成了这条线段的垂直平分线.因此，线段的垂直平分线可以看成与这条线段两端点距离相等的所有点的集合.猜想验证，探索性质CABDEFK 例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.运用性质，尺规作图已知：直线AB和AB外一点C（如图）求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：（1）任意取一点K，使点K与点C在AB的两旁.（3）分别以点D和点E为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点F.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.直线CF就是所求作的垂线.（4）作直线CF.（2）为什么要以大于的长为半径作弧？（3）为什么直线CF就是所求作的垂线？ 问题6（1）为什么任意取一点K，使点K与点C在直线AB两旁？运用性质，尺规作图综合运用，巩固提高 练习 1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE 解：∴ AB=AC=CE．∵ AB=CE，BD=DC，∴ AB+BD=CD+CE．即 AB+BD=DE．解：∵ AB=AC，∴ 点A在BC的垂直平分线．∵ MB=MC，∵ 点M在BC的垂直平分线上，∴ 直线AM是线段BC的垂直平分线． 练习 2.如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ABCDM综合运用，巩固提高归纳小结，反思提高（1）本节课学习了哪些内容？（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？教科书习题13.1第6、9题．布置作业
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