第六章 第一节1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)解析：选C 选项A、B为递减的无穷数列，选项C为递增的无穷数列，选项D为有穷数列．故选C.2．(2014·西安模拟)图1,2,3,4分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，设第n个图包含an个互不重叠的单位正方形，则an＝( )A．2n2－1 B．4n－3C．n2－n＋1 D．2n2－2n＋1解析：选D a2－a1＝4，a3－a2＝8，a4－a3＝12，…，an－an－1＝4(n－1)，以上各式两边分别相加可得an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋4[1＋2＋…＋(n－1)]＝2n2－2n＋1.故选D.3．在正项数列{an}中，若a1＝1，且对所有的n∈N*满足nan＋1－(n＋1)an＝0，则a2014＝( )A．1011 B．1012 C．2013 D．2014解析：选D 由a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝0可得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n)，得到eq\f(a2,a1)＝eq\f(2,1)，eq\f(a3,a2)＝eq\f(3,2)，eq\f(a4,a3)＝eq\f(4,3)，…，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n)，上述式子两边分别相乘得eq\f(a2,a1)×eq\f(a3,a2)×eq\f(a4,a3)×…×eq\f(an＋1,an)＝an＋1＝eq\f(2,1)×eq\f(3,2)×eq\f(4,3)×…×eq\f(n＋1,n)＝n＋1，故an＝n，所以a2014＝2014.故选D.4．(2012·北京高考)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前
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的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为( )A．5 B．7 C．9 D．11解析：选C 依
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意eq\f(Sn,n)
表
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示图象上的点(n，Sn)与原点连线的斜率，由图象可知，当n＝9时，eq\f(Sn,n)最大，故m＝9.选C.5．数列{an}的通项an＝eq\f(n,n2＋90)，则数列{an}中的最大值是( )A．3eq\r(10) B．19 C.eq\f(1,19) D.eq\f(\r(10),60)解析：选C 因为an＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，由基本不等式得，eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(90))，由于n∈N*，故当n＝9或10时，an＝eq\f(1,19)最大，故选C.6．若数列{an}满足关系：an＋1＝1＋eq\f(1,an)，a8＝eq\f(34,21)，则a5等于( )A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,3) C.eq\f(8,5) D.eq\f(13,8)解析：选C 借助递推关系，将a8逆推依次得到a7＝eq\f(21,13)，a6＝eq\f(13,8)，a5＝eq\f(8,5).故选C.7．(2014·宝鸡检测)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1·an－1＝an(n≥2)，则a2013的值等于( )A．3 B．1 C.eq\f(1,3) D．32013解析：选A 由已知得an＋1＝eq\f(an,an－1)，an＋3＝eq\f(an＋2,an＋1)＝eq\f(an＋1,an)÷an＋1＝eq\f(1,an)，故an＋6＝eq\f(1,an＋3)＝an，所以，该数列是周期为6的数列，所以a2013＝a3＝3.故选A.8．(2014·嘉兴质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝( )A．64 B．32 C．16 D．8解析：选B 因为an＋1·an＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得eq\f(an＋2,an)＝2.又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2，所以eq\f(a10,a8)·eq\f(a8,a6)·eq\f(a6,a4)·eq\f(a4,a2)＝24，因此a10＝25.故选B.9．在数列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)，…中，0.08是它的第______项．解析：10 令eq\f(n－2,n2)＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.解得n＝10或n＝eq\f(5,2)(舍去)．∴a10＝0.08.即0.08是该数列的第10项．10．已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)，则an＝________.解析：n2＋1 由条件知an－an－1＝2n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋[2(n－1)－1]＋…＋(2×3－1)＋(2×2－1)＋2＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]－(n－1)＋2＝2×eq\f(n－1n＋2,2)－(n－1)＋2＝n2＋1(n≥2)当n＝1时，a1＝2满足上式．∴an＝n2＋1(n∈N*)11．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝eq\f(1,9)，a36＝________.解析：4 由题意知a2＝2a1＝eq\f(2,9)，a3＝a1＋a2＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故a36＝a18＋18＝a18＋a18＝2a18＝2a9＋9＝4a9＝4(a3＋a6)＝12a3＝4.12．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．解析：8 ∵Sn＝n2－9n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，a1＝S1＝－8适合上式．∴an＝2n－10(n∈N*)．∴5<2k－10<8.解得7.5
0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n.(2)证明：eq\f(an＋1,an)＝eq\f(\r(n＋12＋1)－n＋1,\r(n2＋1)－n)＝eq\f(\r(n2＋1)＋n,\r(n＋12＋1)＋n＋1)<1.∵an>0，∴an＋1a10 B．a9＝a10C．a9
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