球的表面积和体积

PAGE1/NUMPAGES8球的表面积与体积-集中训练球:①球的半径是R，则其体积,其表面积；②球的半径（R），截面圆半径（），球心到截面的距离为（）构成直角三角形，因而有关系：，它们是计算球的关键所在。球的组合体:(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.请各位同学推导：球与正四面体的组合体:棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.1、在三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为．()2、(2015·山西四校联考，15)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________．【解析】　设该三棱锥的外接球的半径是R.依 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意得，该三棱锥的形状如图所示，其中AB⊥平面BCD，AB＝2，CD＝2eq\r(2)，BC＝BD＝2，BC⊥BD，因此可将其补形成一个棱长为2的正方体，则有2R＝2eq\r(3)，R＝eq\r(3)，所以该三棱锥的外接球体积为eq\f(4π,3)×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.3、(2015·课标Ⅱ，10，中)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A．36πB．64πC．144πD．256π【答案】　C　设球O的半径为R，由题知当OC⊥平面OAB时，三棱锥O­ABC的体积最大，VO－ABC＝eq\f(1,6)R3＝36，所以R＝6，所以S球＝4πR2＝144π.4、(2012·课标全国，8，中)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为(　　)A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π【答案】　B　如图，设平面α截球O所得圆的圆心为O1，则|OO1|＝eq\r(2)，|O1A|＝1，∴球的半径R＝|OA|＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3).∴球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.故选B.5、(2014·大纲全国，10，中)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)【答案】　A　由题意易知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R，则(4－R)2＋(eq\r(2))2＝R2，解得R＝eq\f(9,4)，所以球的表面积为4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(81,4)π，故选A.6、(2013·天津，10，中)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为eq\f(9π,2)，则正方体的棱长为________．【解析】　设正方体的棱长为a，则正方体的外接球半径R＝eq\f(\r(3),2)a.因为球的体积为eq\f(9,2)π，所以eq\f(4,3)π·R3＝eq\f(9,2)π，即R＝eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),2)a，所以a＝eq\r(3).7、(2013·课标Ⅱ，15，难)已知正四棱锥O­ABCD的体积为eq\f(3\r(2),2)，底面边长为eq\r(3)，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．【解析】　设底面中心为E，则|AE|＝eq\f(1,2)·|AC|＝eq\f(\r(6),2)，∵体积V＝eq\f(1,3)|AB|2·|OE|＝|OE|＝eq\f(3\r(2),2)，∴|OA|2＝|AE|2＋|OE|2＝6.从而以O为球心，OA为半径的球的表面积S＝4π·|OA|2＝24π.8、(2013·课标Ⅰ，15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为解析：平面α截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得OH＝eq\f(1,3)R，由圆H的面积为π，得圆H的半径为1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,3)))eq\s\up12(2)＋12＝R2，得R2＝eq\f(9,8)，所以球O的表面积S＝4πR2＝4π·eq\f(9,8)＝eq\f(9π,2).9、(2013·课标Ⅰ，6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3解析：设球的半径为R，则球的截面圆的半径是4，且球心到该截面的距离是R－(8－6)＝R－2，故R2＝(R－2)2＋42⇒R＝5.∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．10、(2015·四川绵阳一模，7)如图所示，用一边长为eq\r(2)的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为(　　)A.eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)B.eq\f(\r(6),2)＋eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)【答案】　D　蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为d＝eq\r(1－\f(1,4))＝eq\f(\r(3),2).而截面到底面的距离即为三角形的高eq\f(1,2)，所以球心到底面的距离为eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2).11、(2015·辽宁沈阳一模，6)已知四面体P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为(　　)A．7πB．8πC．9πD．10π【答案】　C　∵PB⊥平面ABC，AB⊥AC，在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即2R＝eq\r(12＋22＋22)＝3，∴R＝eq\f(3,2)，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9π12、(2015·河南驻马店调研，13)在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝2eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(π,2)，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．【解】依题意可知，球心到平面ABC的距离为eq\f(1,2)AA′＝1，平面ABC所在圆的半径为eq\f(1,2)BC＝eq\r(3)，则球的半径为eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，则球的体积为eq\f(4,3)×π×23＝eq\f(32π,3).13、(2014·宁夏银川质检，10)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D­ABC的外接球表面积等于________．【解析】　设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4eq\r(ab)＝8eq\r(2)，当且仅当a＝b＝2eq\r(2)时等号成立．此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.14、若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比为（　　）A．B．C．D．15、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为。16、已知长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面积和体积分别为12和24,且AB=AD,求该长方体外接球的表面积.　　解析:设AB=a,AA1=b,则a2b=12,4ab=24,解得a=2,b=3,设长方体外接球的半径为r,则4r2=22+22+32=17,所以长方体外接球的表面积S表=4πr2=17π.17、高和底面直径相等的圆柱的表面积和球O的表面积相等,则该圆柱与球O的体积之比为A.2∶3B.2∶1C.1∶3D.3∶2　　解析:设圆柱底面半径为r1,球O的半径为r2,由题意得6πr12=4πr22,故r1r2=23,则V柱V球=2πr134π3r23=23.18、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.163πB.1912πC.193πD.43π　　解析:由正视图可得该三棱柱的底面边长为2,高为1,易得底面外接圆的半径等于233,设该球的半径为r,则r2=(12)2+(233)2=14+43=1912,该球的表面积为4π×1912=19π3.答案:C19、已知A、B、C、D是表面积为6π的球O上的四点,且DA⊥平面ABC,三角形ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,且AC=2,则VD-ABC的体积为　　　　. 　　解析:由条件可求得球O的半径R=62,BC=AB=2,可证得球心O为DC的中点,则DC为球O的直径,则DC=6,在直角三角形DAC中,DA=DC2-AC2=2,所以VD-ABC=13×2×12×2×2=23.答案:2320、直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．21、三棱锥的侧棱两两垂直且长度分别为2cm，2cm，1cm，则其外接球的表面积是　　cm2．22、边长是的正内接于体积是的球，则球面上的点到平面的最大距离为.第10题图23、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为AA．B．C．D．24、某几何体的三视图如图，其顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（C）A．B．C．D．25、某几何体的三视图如图所示,当xy最大时,该几何体外接球的表面积为(  C  )A. 32πB. 64πC. 128πD.136π 26、在三棱锥A1－ABC中，AA1⊥底面ABC，，则该三棱锥的外接球的表面积为