高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的三角函数常用方法例析素材 北师大版必修4（通用）

PAGE3.3二倍角的三角函数常用方法例析二倍角的三角函数是和、差角的三角函数的特例，其求值，化简，证明的出发点是统一角，统一函数和降低次数。在变形过程中，要注意角与角之间的和、差、倍关系和特殊角之间的关系等。同时还要观察式子的特征，适当选用公式进行化简。这里对几种常用方法举例解析，供同学们参考。一、逆用公式法：例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。分析：注意到sin10°sin50°sin70°=cos80°cos40°cos20°,分子分母可同时乘以2sin20°,逆用正弦的二倍角公式求解，也可用变形式作商相消。解法1(连续逆用法)sin10°sin30°sin50°sin70°=eq\l(\f(1,2))cos80°cos40°cos20°=eq\l(\f(1,4sin20eq\l(°)))·cos80°cos40°·(2sin20°cos20°)=eq\l(\f(1,8sin20eq\l(°)))·cos80°·(2sin40°cos40°)=eq\l(\f(1,16sin20eq\l(°)))·(2sin80°cos80°)=eq\l(\f(sin160°,16sin20°))=eq\l(\f(1,16))解法2(作商法)sin10°sin30°sin50°sin70°=eq\l(\f(1,2))cos80°cos40°cos20°=eq\l(\f(1,2))·eq\l(\f(sin160°,2sin80°))·eq\l(\f(sin80°,2sin40°))·eq\l(\f(sin40°,2sin20°))=eq\l(\f(sin160°,16sin20°))=eq\l(\f(1,16))评注：①解法1是根据其特点采用同乘同除一个三角函数式，使其构成使用二倍角公式sin2α=2sinαcosα的形式，从而达到求值的目的。解法2用作商相消法可使问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 变得简单。②正弦二倍角的三角函数公式，可以起到转化角的作用。在三角函数的求值、化简和证明过程中，对于角是二倍角关系的余弦函数的连乘积(首项可为正弦)问题均可采用类似的方法解之。总之：方法不拘泥,要注意灵活运用。例2化简cos²A+sin²(eq\l(\f(π,6))+A)+cos²(eq\l(\f(π,3))+A)分析：对余弦二倍角公式的变形逆用通常称为“降次公式”，可对正、余弦函数的平方进行降次。本题可先用降次公式进行降次，再用和、差公式展开化简。解：原式=++=eq\l(\f(3,2))+eq\l(\f(1,2))[cos2A-(coseq\l(\f(π,3))cos2A-sineq\l(\f(π,3))sin2A)+(coseq\l(\f(2π,3))cos2A-sineq\l(\f(2π,3))sin2A)]=eq\l(\f(3,2))+eq\l(\f(1,2))(cos2A-eq\l(\f(1,2))cos2A+eq\l(\f(\r(3),2))sin2A-eq\l(\f(1,2))cos2A-eq\l(\f(\r(3),2))sin2A)=eq\l(\f(3,2))评注：根据二倍角公式可得⑴1+cos2α=2cos²α,1-cos2α=2sin²α，⑵sin²α=,cos²α=。公式⑴通常叫做升幂公式，同时能使1±cos2α两项的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式减少到一项；公式⑵通常叫做降幂公式，它能使表达式的次数降低。可依据函数式的特征灵活选用。二、化弦法：例3化简(coteq\l(\f(α,2))-taneq\l(\f(α,2)))(1+tanα·taneq\l(\f(α,2)))分析：为便于化简，须将角eq\l(\f(α,2)),α均统一到eq\l(\f(α,2))；还须将正切余切均化为弦，即采用“切化弦”；然后利用和角、倍角公式化为最简形式。解：原式=(-)(1+·)=·===2cscα评注：“切化弦”是化简的关键。规律：对于六种不同的三角函数，可利用商数关系与倒数关系，将其转化为正弦、余弦两种三角函数于简化求解过程，俗称“化弦法”。三、化切法例4已知tanα,求sin2α,cos2α.分析：求sin2α时用二倍角公式展开后，在分母加上cos²α+sin²α,再化切。求cos2α时依据正切的二倍角公式逆用商数关系即可。解：sin2α===cos2α==·=评注：分母用“1=cos²α+sin²α”进行代换是本题求解的技巧。以上两式与正切的二倍角公式合称为“万能公式”，它对于三角的计算，恒等式的证明及不等式的证明诸方面均有重要作用，特别对于含tanα,sin2α,sinαcosα,cos2α,tan2α,sin2α,cos2α,tan2α的三角函数恒等式的证明颇见成效。在等式中若令tanα=t，仿例3用“1=cos²α+sin²α”进行代换可推得sin2α=,cos2α=,tan2α=,sin2α=,sinαcosα=,cos2α=。这样，三角恒等式化为f(t)=g(t)的形式，可使其转化为代数恒等式来证明。例5求证：=2cos2αcos2α(sin2α+2sin2α)分析：设tanα=t，利用万能公式，转化为代数式。证明：设tanα=t,则左边==·=右边=2··(+)=∴等式成立评注：这种将众多二倍角的三角式及单角三角的二次式转化为正切表示的方法，通常称为“化切法”。此法可用来简化三角运算，能收事半功倍之效。四、随堂训练⒈若△ABC的内角A满足sin2A=eq\l(\f(2,3))，则sinA+cosA=()(A)(B)(C)(D)⒉求cos36°cos72°的值。⒊已知sin(＋α)sin(－α)＝，α∈(,π)，求sin4α的值⒋求sim²20°+cos²50°+sin30°sin70°的值。⒌求(tan10°-)·的值。⒍已知tanα=,求sin(2α+)的值。⒎已知sinθ+2cosθ=2,求tanθ的值。参考答案⒈由sin2A＝2sinAcosA＞0，可知A是锐角，所以sinA＋cosA＞0，又（sinA+cosA)²=1+sin2A=，故选A．⒉原式=·=eq\l(\f(1,4))⒊cos2α=sin(eq\l(\f(π,2))-2α)=2sin(eq\l(\f(π,4))-α)cos(eq\l(\f(π,4))-α)=2sin(eq\l(\f(π,4))+α)sin(eq\l(\f(π,4))-α)＝2·=eq\l(\f(1,3))；∵α∈(,π)，∴2α∈(π,2π)，∴sin2α=-；∴sin4α=2sin2αcos2α=-。⒋原式=++eq\l(\f(1,2))sin70°=1-eq\l(\f(1,2))[cos(70°-30°)-cos(70°+30°)]+eq\l(\f(1,2))sin70°=1-eq\l(\f(1,2))·2sin70°sin30°+eq\l(\f(1,2))sin70°=1⒌原式=·=·==-=-2⒍∵sin2α===,cos2α===eq\l(\f(3,5)),∴sin(2α+eq\l(\f(π,6)))=sin2αcoseq\l(\f(π,6))+cos2αsineq\l(\f(π,6))=eq\l(\f(4,5))×eq\l(\f(\r(3),2))+eq\l(\f(3,5))×eq\l(\f(1,2))=⒎令t=taneq\l(\f(θ,2)),则有eq\l(\f(2t,1+teq\l(2)))+eq\l(\f(2(1-t2),1+t2))=2,∴2t²-t=0，t=0或t=eq\l(\f(1,2))。当t=0时，tanθ=eq\l(\f(2t,1-teq\l(2)))=0,当t=eq\l(\f(1,2))时，tanθ=eq\l(\f(2t,1-teq\l(2)))=eq\l(\f(4,3))。