利用导数解决恒成立能成立问题利用导数解决恒成立能成立问题一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法)⑴恒成立问题若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxBmax(a-l)x2+a~3若5在x€[1,+s)上恒成立,贝ya的取值范围是Ix+1~■若不等式x&不等式x-3x+2-av0在区间x€[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围是.-4x2>2-a对任意实...
0且az1),则当f(x)为可等射函数时,a的取值范围是(0,Ina1)u(1,2).考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数的定义域及其求法;函数的值域.专题:新定义.~3Ina_aK+a-3Ina分析:求导函数,判断函数为单调增函数,根据可等射函数的定义,可得mn是方程的两个根,构建函数g(X)总K,则函数g(X)Ina.有两个零点,分类讨论,即可确定a的取值范围.X解答:解:求导函数,可得f'(X)=a>0,故函数为单调增函数t存在实数m,n,当定义域为[m,n]时,值域为[m,n]./•f(m)=mf(n)=n.••m,n是方程旦*十过_$二x的两个根Ina构建函数g(x)=且+日_—-x,则函数g(x)=耳+'_—-工有两个零点,g'InaInax(x)=a-1①0vav1时,函数的单调增区间为(-g,0),单调减区间为(0,+8)•••g(0)>0,二函数有两个零点,故满足题意;②a>1时,函数的单调减区间为(—g,0),单调增区间为(0,+8)要使函数有两个零点,则g(0)v0,「.•:-'i,^av2Ina•••1vav2综上可知,a的取值范围是(0,1)U(1,2)故答案为:(0,1)U(1,2).点评:本题考查新定义,考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,正确理解新定义是关键.17.存在xv0使得不等式x2v2—|x—t|成立,则实数t的取值范围是(—-,2).4考点:绝对值不等式.专题:计算题.分析:本题利用纯代数讨论是很繁琐的,要用数形结合•原不等式x2v2-|x—t|,即|x—t|v2—x,分别画出函数y1=|x—t|,y2=2—x,这个很明确,是一个开口向下,2关于y轴对称,最大值为2的抛物线;要存在xv0使不等式|x—t|v2—x成立,则y1的图象应该在第二象限(xv0)和y2的图象有交点,再分两种临界讲座情况,当t<0时,yi的右半部分和y在第二象限相切;当t>0时,要使yi和y在第二象限有交点,最后综上得出实数t的取值范围.解答:22解:不等式xv2-|x-t|,即|x-t|v2-x,令yi=|x-t|,yi的图象是关于x=t对称的一个V字形图形,其象位于第一、二象限;y2=2x,是一个开口向下,关于y轴对称,最大值为2的抛物线;2要存在xv0,使不等式|x-t|v2-x成立,贝Uyi的图象应该在第二象限和y2的图象有交点,两种临界情况,①当t<0时,yi的右半部分和y2在第二象限相切:yi的右半部分即yi=x-t,2.联列方程y-x-t,y=2-x,只有一个解;即x-t-2-x2,即卩x2+x-t-2-0,^-i+4t+8-0,得:t---;4此时yi恒大于等于y2,所以t---!取不到;4所以-t<0;4②当t>0时,要使yi和y2在第二象限有交点,即yi的左半部分和y2的交点的位于第二象限;无需联列方程,只要yi与y轴的交点小于2即可;yi=t-x与y轴的交点为(0,t),所以tv2,又因为t>0,所以0vtv2;综上,实数t的取值范围是:-卫vtv2;点评:本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想•属于基础题.18.存在实数x,使得x2-4bx+3bv0成立,则b的取值范围是b>-:或bv0.4考点:函数恒成立问题.专题:计算题;转化思想.分析:先把原命题等价转化为存在实数x,使得函数y=x2-4bx+3b的图象在X轴下方,再利用开口向上的二次函数图象的特点,转化为函数与X轴有两个交点,对应判别式大于0即可解题.解答:解:因为命题:存在实数x,使得X2-4bx+3bv0成立的等价说法是:存在实数x,使得函数y=x-4bx+3b的图象在X轴下方,即函数与X轴有两个交点,故对应的△=(-4b)2-4X3b>0?bv0或b"4故答案为:bv0或b>上.4点评:本题主要考查二次函数的图象分布以及函数图象与对应方程之间的关系,是对函数知识的考查,属于基础题.19.已知存在实数x使得不等式|x-3|-|x+2|>|3a-1|成立则实数a的取值范围是.考点:绝对值不等式.专题:数形结合;转化思想.|3a分析:由题意知这是一个存在性的问题,须求出不等式左边的最大值,令其大于等于-1|,即可解出实数a的取值范围解答:解:由题意借助数轴,|x-3|-|x+2|€[-5,5]•••存在实数x使得不等式|x-3|-|x+2|>|3a-1|成立,4•••5>|3a-1|,解得-5W3a-K5,即-a<23故答案为[-春2]-S4-5i0123iP点评:本题考查绝对值不等式,求解本题的关键是正确理解题意,区分存在问题与恒成立问题的区别,本题是一个存在问题,解决的是有的问题,故取|3a-1|<5,即小于等于左边的最大值即满足题意,本题是一个易错题,主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解,因思维错误导致错误.TOC\o"1-5"\h\z20.存在实数a使不等式aW2-x+1在[-1,2]成立,则a的范围为(-汽4].考点:指数型复合函数的性质及应用.专题:计算题.分析:由x的范围可得1-x的范围,由此得到2-x+1的范围,从而得到a的范围.解答:解:由于-KxW2,「.-K1-xW2,「.<2W4.2•••存在实数a使不等式a<2-x+1在[-1,2]成立,二a<4.故a的范围为(-8,4],故答案为(-汽4].点评:本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用,属于中档题.21.若存在x€,使sin7厂上成立,则实数a的取值范围为-.」42考点:正弦函数的图象;函数的图象与图象变化.专题:计算题.分析:根据正弦函数的单调性,分别求出当Owxw“和一wxwo4]时|sinx|的范围,进而推知x€芈,号]时,⑻nx|的最大值.进而可知要使成立,只需尹于其最大值即可.解答:解:当Owxw时,0<|sinx|=sinx