全国各省文科立体几何大题真题

TTMSsystemofficeroom【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-TTMSHHJ8】全国各省文科立体几何大题真题精选文档2014-2018全国各省文科立体几何大题真题一、解答题（共35小题；共455分）1.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=6，∠BAD=60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．2.如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（1） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．3.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明MN∥平面PAB；（2）求四面体NBCM的体积．4.如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=23DA，求三棱锥QABP的体积．5.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB；（3）求三棱锥VABC的体积．6.如图，在三棱锥PABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．7.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD说明理由．8.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）求证：EF∥平面PCD；9.如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．1.证明：AC⊥BD；2.已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．10.如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为27，求四棱锥PABCD的体积．11.如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．12.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．13.如图，在四棱锥PABCD中，AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2．（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．14.由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD．（1）证明：A1O∥平面B1CD1；（2）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．15.如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF说明理由．16.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（1）已知AB=BC，AE=EC．求证：AC⊥FB；（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．17.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△DEF的位置．（1）证明：AC⊥HD；（2）若AB=5，AC=6，AE=54，OD=22，求五棱锥DABCFE的体积．18.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求四面体NBCM的体积．19.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为5π6，A1B1长为π3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．20.如图，在四棱锥中PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（2）证明：平面PAB⊥平面PBD．21.如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥PAOC的体积，并求异面直线PA与OE所成角的余弦值．22.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．23.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；（3）证明：直线DF⊥平面BEG·24.如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，（1）求三棱锥PABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC的值．25.如图，三棱台DEFABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．26.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C到平面PDA的距离．27.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．（1）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由．（2）记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1V2的值．28.如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．29.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．（1）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（2）求三棱锥PABC体积的最大值；（3）若BC=2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．30.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，∠BAD=60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.31.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（1）证明：平面AEC⊥平面BED；（2）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．32.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，点E和F分别为BC和A1C的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．33.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．34.如图，三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=π2，点D，E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（1）证明：AB⊥平面PFE；（2）若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长．35.如图（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=BC=12AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图（2）中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，四棱锥A1BCDE的体积为362，求a的值． 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 第一部分1.（1）设BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，因为G是BC的中点，所以OG∥DC，且OG=12DC=1，又因为EF∥AB，AB∥DC，所以EF∥OG，且EF=OG，即四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE，因为FG平面BED，OE平面BED，所以FG∥平面BED．（2）在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，由余弦定理可得BD=3，进而得∠ADB=90°，即BD⊥AD，又因为平面AED⊥平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，所以BD⊥平面AED，因为BD平面BED，所以平面BED⊥平面AED．（3）因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED=ED，由（2）知AH⊥平面BED，所以直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD=1，DE=3，AE=6，由余弦定理得cos∠ADE=23，所以sin∠ADE=53，所以AH=AD53=53，在Rt△AHB中，sin∠ABH=AHAB=56，所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为56．2.（1）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD．因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE．所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG．又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点．（2）如图，在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由（1）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=23CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=23PG，DE=13PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PE=22．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=13×12×2×2×2=43．3.（1）取PB中点Q，连接AQ，NQ．因为N是PC中点，NQ∥BC，且NQ=12BC，又AM=23AD=23×34BC=12BC，且AM∥BC，所以QN∥AM，且QN=AM，所以AQNM是平行四边形．所以MN∥AQ．又MN平面PAB，AQ平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）由（1）QN∥平面ABCD，所以VNBCM=VQBCM=12VPBCM=12VPBCA．所以VNBCM=12×13PAS△ABC=16×4×25=453．4.（1）由已知可得，∠BAC=90°，BA⊥AC，又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD，又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32，又BP=DQ=23DA，所以BP=22，作QE⊥AC，垂足为E，则QE∥DC，QE=13DC，由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱锥QABP的体积为VQABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×22sin45°=1.5.（1）因为O，M分别为，AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB平面MOC，又因为MO平面MOC，所以VB∥平面MOC．（2）因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB，又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC平面ABC，所以OC⊥平面VAB，所以平面MOC⊥平面VAB．（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=2，所以AB=2，OC=1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB=3，又因为OC⊥平面VAB，所以VCABV=13×OC×S△VAB=33，又因为VVABC=VCABV，所以VVABC=33．6.（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23．连接OB．因为AB=BC=22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2．由OP2+OB2=PB2知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，∠ACB=45°．所以OM=253，CH=OCMCsin∠ACBOM=455．所以点C到平面POM的距离为455．7.（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连接AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．8.（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，因为PA=PD，E为AD中点，所以PE⊥AD．又PE平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，又BC平面ABCD，所以PE⊥BC．（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD，又CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，又PA⊥PD，且PD∩CD=D，所以PA⊥平面PCD，又PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．（3）取PC中点G，连FG，DG，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG为△PBC的中位线，所以FG∥BC，FG=12BC，又E为AD的中点，四边形ABCD为矩形，所以ED∥BC，ED=12BC，所以FG∥ED，FG=ED，所以四边形EFGD为平行四边形，所以EF∥DG，又EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF∥平面PCD．9.1.取AC中点O，连接DO，BO，因为△ABC是正三角形，AD=CD，所以DO⊥AC，BO⊥AC，因为DO∩BO=O，所以AC⊥平面BDO，因为BD平面BDO，所以AC⊥BD．2.法一：连接OE，由（1）知AC⊥平面OBD，因为OE平面OBD，所以OE⊥AC，设AD=CD=2，则OC=OA=1，所以O是线段AC垂直平分线上的点，所以EC=EA=CD=2，由余弦定理得：cos∠CBD=BC2+BD2CD22BCBD=BC2+BE2CE22BCBE，即4+422×2×2=4+BE222×2×BE，解得BE=1或BE=2，因为BE0，因此x=3或x=33．所以BC=3或BC=33．35.（1）在题图（1）中，因为AB=BC=12AD=a，E是AD的中点，∠BAD=π2，所以BE⊥AC．即在题图（2）中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC．又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，又由（1）可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE．即A1O是四棱锥A1BCDE的高．由题图（1）知，A1O=22AB=22a，平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2，从而四棱锥A1BCDE的体积为V=13SA1O=13×a2×22a=26a3.由26a3=362，得a=6．