角三角函数公式

角三角函数公式角三角函数公式　　正弦：sinα=∠α的对边/∠α的斜边　　余弦：cosα=∠α的邻边/∠α的斜边　　正切：tanα=∠α的对边/∠α的邻边　　余切：cotα=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式　　sin2A=2sinA•cosA　　cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2A-1　　tan2A=〔2tanA〕/〔1-tan^2A〕三倍角公式　　    sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)　　tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)　　三倍角公式推导　　　sin3a　　=sin(2a+a)　　=sin2acosa+cos2asina　　=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina　　=3sina-4sin^3a　　cos3a　　=cos(2a+a)　　=cos2acosa-sin2asina　　=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa　　=4cos^3a-3cosa　　sin3a=3sina-4sin^3a　　=4sina(3/4-sin^2a)　　=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]　　=4sina(sin^260°-sin^2a)　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)　　cos3a=4cos^3a-3cosa　　=4cosa(cos^2a-3/4)　　=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]　　=4cosa(cos^2a-cos^230°)　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)　　上述两式相比可得　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.　　sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2　　cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2　　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))    和差化积　　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]　　    sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]　　cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]　　cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差　　sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数　　sinh(a)=[e^a-e^(-a)]/2　　cosh(a)=[e^a+e^(-a)]/2　　tanh(a)=sinh(a)/cosh(a)　　公式一：　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：　　sin〔2kπ＋α〕=sinα　　cos〔2kπ＋α〕=cosα　　tan〔2kπ＋α〕=tanα　　cot〔2kπ＋α〕=cotα　　公式二：　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：　　sin〔π＋α〕=-sinα　　cos〔π＋α〕=-cosα　　tan〔π＋α〕=tanα　　cot〔π＋α〕=cotα　　公式三：　　任意角α与-α的三角函数值之间的关系：　　sin〔-α〕=-sinα　　cos〔-α〕=cosα　　tan〔-α〕=-tanα　　cot〔-α〕=-cotα　　公式四：　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：　　sin〔π-α〕=sinα　　cos〔π-α〕=-cosα　　tan〔π-α〕=-tanα　　cot〔π-α〕=-cotα　　公式五：　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：　　sin〔2π-α〕=-sinα　　cos〔2π-α〕=cosα　　tan〔2π-α〕=-tanα　　cot〔2π-α〕=-cotα　　公式六：　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：　　sin〔π/2+α〕=cosα　　cos〔π/2+α〕=-sinα　　tan〔π/2+α〕=-cotα　　cot〔π/2+α〕=-tanα　　sin〔π/2-α〕=cosα　　cos〔π/2-α〕=sinα　　tan〔π/2-α〕=cotα　　cot〔π/2-α〕=tanα　　sin〔3π/2+α〕=-cosα　　cos〔3π/2+α〕=sinα　　tan〔3π/2+α〕=-cotα　　cot〔3π/2+α〕=-tanα　　sin〔3π/2-α〕=-cosα　　cos〔3π/2-α〕=-sinα　　tan〔3π/2-α〕=cotα　　cot〔3π/2-α〕=tanα　　(以上k∈Z)　　A·sin(ωt+θ)+B·sin(ωt+φ)=　　√{(A^2+B^2+2ABcos(θ-φ)}•sin{ωt+arcsin[(A•sinθ+B•sinφ)/√{A^2+B^2;+2ABcos(θ-φ)}}　　√表示根号,包括{……}中的内容诱导公式　　sin(-α)=-sinα　　cos(-α)=cosα　　tan(-α)=-tanα　　sin(π/2-α)=cosα　　cos(π/2-α)=sinα　　sin(π/2+α)=cosα　　cos(π/2+α)=-sinα　　sin(π-α)=sinα　　cos(π-α)=-cosα　　sin(π+α)=-sinα　　cos(π+α)=-cosα　　tanA=sinA/cosA　　tan〔π/2＋α〕＝－cotα　　tan〔π/2－α〕＝cotα　　tan〔π－α〕＝－tanα　　tan〔π＋α〕＝tanα　　诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式　　    其它公式　　(1)    (sinα)^2+(cosα)^2=1　　(2)1+(tanα)^2=(secα)^2　　(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2　　 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可　　(4)对于任意非直角三角形,总有　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　证:　　A+B=π-C　　tan(A+B)=tan(π-C)　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)　　整理可得　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　得证　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论　　(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1　　(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)　　(7)(cosA〕^2+(cosB〕^2+(cosC〕^2=1-2cosAcosBcosC　　(8)〔sinA〕^2+〔sinB〕^2+〔sinC〕^2=2+2cosAcosBcosC　　其他非重点三角函数　　　csc(a)=1/sin(a)　　sec(a)=1/cos(a)　　    编辑本段内容规律　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.　　1、三角函数本质：　　    [1]　根据右图，有　　sinθ=y/r;cosθ=x/r;tanθ=y/x;cotθ=x/y。　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比方以推导　　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB为例：　　推导：　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2　　和差化积及积化和差用复原法结合上面公式可推出〔换(a+b)/2与(a-b)/2〕　　单位圆定义　　单位圆　　六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义确实允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：　　图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半局部得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。　　两角和公式　　    sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB　　sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB　　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB　　cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB　　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)　　tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)　　cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)　　cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)