§6.3等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的观点，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．能在详细的问题情境中辨别数列的等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．3.认识等比数列与指数函数的关系.考情考向剖析以考察等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考察的热门．本节内容在高考取既能够以选择题、填空题的形式进行考察，也能够以解答题的形式进行考察．解答题常常与等差数列、数列乞降、不等式等问题综合考察.笾窪箨戰鐃帼啟嬙齒納蘆確椤欧紋。1．等比数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，往常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项假如在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么依据等比数列的定义，G＝b，aGG2＝ab，G＝±ab，称G为a，b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推行：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数同样)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1，{an2}，{an·bn}，an还是等比数列．anbn5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；烩僨农轄龊韪鐳烃癫浏渊鰷齐餘脈。na1－anq当q≠1时，Sn＝a11－q＝1－q.1－q6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.知识拓展等比数列{an}的单一性紡龅锦卧闳忧识贺嗇绿鍶蜆鷦鈞鰓。(1)知足a1>0，或a1<0，时，{an}是递加数列．q>10
0，a1<0，知足或时，{an}是递减数列．01(3)a1≠0，时，{an}为常数列．当q＝1(4)当q<0时，{an}为摇动数列．题组一思虑辨析1．判断以下结论能否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)知足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(×)(2)G为a，b的等比中项?G2＝ab.(×)(3)假如数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(×)(4)假如数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(×)(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an.(×)1－a(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×)题组二教材改编2．[P51例3]已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝1，则公比q＝______.4答案12分析由题意知q3＝a5＝1，∴q＝1a282.3．[P54A组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案27,81分析设该数列的公比为q，由题意知，瘋鶘攜铤蠆寫號槧认嗚桤螢谧氽鏗。243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题组三易错自纠4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2的值为________．b2答案－12分析∵1，a1，a2,4成等差数列，3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b22＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，∴b2＝2，a1－a2－a2－a11∴＝b2＝－2.b25．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5＝________.S2答案－11分析设等比数列{an}的公比为q，8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴S5＝a11－q51－q·2S21－qa11－q1－q51－－25＝2＝＝－11.1－q1－46．一种特意占有内存的计算机病毒开机时占有内存1KB，而后每3分钟自己复制一次，复制后所占内存是本来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占有内存64MB(1MB＝210KB)．答案48分析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小组成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，an＝2n，则2n＝64×210＝216，∴n＝16.即病毒共复制了16次．∴所需时间为16×3＝48(分钟).题型一等比数列基本量的运算1．(2018开·封质检)已知等比数列{an}知足a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()411A．2B．1C.2D.8答案C分析由{an}为等比数列，得a3a5＝a42，又a3a5＝4(a4－1)，所以a24＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，313则由a4＝a1q，得2＝4q，解得q＝2，所以a2＝a1q＝1.应选C.22．(2018济·宁模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝5，a2＋a4＝5，则Sn＝24an________.答案2n－1a1＋a3＝5，分析∵22＋a4＝5，a4a1＋a12＝5，①q2∴a1q＋a1q3＝5，②41＋q2由①除以②可得3＝2，q＋q1解得q＝2，代入①得a1＝2，∴an＝2×12n－1＝24n，2×1－1n2＝41∴Sn＝1－n，121－21Sn＝41－2n＝2n－1.an42n思想升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般能够“知三求二”，经过列方程(组)可水到渠成．题型二等比数列的判断与证明典例(2018·潍坊质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.璽洒镪廬讯劉籃颌誤驰關杩鱉题农。(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，础瘗饜筆撿蓣瘫瓯镦砻戧阖鯛晖怿。得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.Sn＋1＝4an＋2，①又Sn＝4an－1＋2n≥2，②由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．(2)解n＝an＋1－2an＝3·2n－1，由(1)知ban＋1an3∴2n＋1－2n＝4，故an132是首项为2，公差为4的等差数列．n∴an133n－12n＝＋(n－1)·＝4，24故an＝(3n－1)·2n－2.引申研究若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其余不变，求数列{an}的通项公式．亿風丢縹衛赇钫檉則茲愾萝莧讯黉。解由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，an＋1＝2an＋1，an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，(*)又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)，∴当n＝1时(*)式也建立，故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.思想升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其余方法只用于选择题、竖櫚枣審瀧撺鵜砚義獸單隴論赂煒。填空题中的判断；若证明某数列不是等比数列，则只需证明存在连续三项不可等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的状况进行考证．追踪训练(2016·全国Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λa，此中λ≠0.n(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；31(2)若S5＝32，求λ.(1)证明由题意得1＝S1＝1＋λa1，a1故λ≠1，a1＝，a1≠0.由S＝1＋λa，S＋＋，得a＋＋＋，由a≠0，λ≠0＝1＋λa＝λa－λa，即annn1n1n1n1nn1(λ－1)＝λan1得an≠0，an＋1λ所以＝.anλ－1所以{an}是首项为1，公比为λ的等比数列，1－λλ－1于是an＝1λn－1.1－λλ－1(2)解由n＝1－λn(1)得Sλ－1.31λ531λ51由S5＝32得1－λ－1＝32，即λ－1＝32.解得λ＝－1.题型三等比数列性质的应用1．(2017郑·州三模)已知等比数列{an}，且a6＋a8＝4，则a8(a4＋2a6＋a8)的值为()A．2B．4C．8D．16答案D分析∵a6＋a8＝4，∴a84＋2a6＋a884＋2a86＋a82＝(a6＋a82＝16.应选D.(a)＝aaa)2．(2017云·南省十一校跨区调研)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3鴇蓥砖顆臏凫驯挢奐狹钊詬废聯諛。＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于()A．40B．60C．32D．50答案B分析由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，9－S6，S12－S9是等比数列，所以S12＝4＋8＋16＋32＝60，应选B.S思想升华等比数列常有性质的应用等比数列性质的应用能够分为三类：(1)通项公式的变形．(2)等比中项的变形．(3)前n项和公式的变形．依据题目条件，认真剖析，发现详细的变化特色即可找出解决问题的打破口．典例(12分)已知首项为3的等比数列2{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；113*(2)证明：Sn＋n≤6(n∈N)．S思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，依据函数的单一性证明．
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解答(1)解设等比数列{an}的公比为q，由于－2S2，S34成等差数列，,4S所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，a41可得2a4＝－a3，于是q＝a3＝－2.[2分]又a1＝3，所以等比数列{an}的通项公式为2＝3×－1n－1n－13*＝(－1)nan22·(n∈N)．[3分]2(2)证明由(1)知，Sn＝1－1n－，2n＋1＝1－－1n1＋SSn21n1－－22＋n1，n为奇数，2n2＋1＝1[6分]2＋n，n为偶数.2n2－1当n为奇数时，Sn＋1随n的增大而减小，Sn13213所以Sn＋Sn≤S1＋S1＝2＋3＝6.[8分]1当n为偶数时，Sn＋Sn随n的增大而减小，所以Sn＋1≤S2＋1＝3＋4＝25.[10分]SnS24312*1≤13故对于n∈N，有Sn＋Sn6.[12分]1．(2017福·建漳州八校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10等于()S5A．－3B．5C．－31D．33答案D分析设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1.3∵S3＝2，S6＝18，∴1－q＝2，得q3＝8，∴q＝2.6181－q10S10＝1－q＝1＋q5＝33，应选D.S51－q52．(2017武·汉市武昌区调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于()A．－2B．－112C.2D.3答案B分析由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝3，将q＝3代入S2＝3a2＋2中得a1＋3a1＝3×3a1＋2，解得a1＝－1，应选B.22223．(2017张·掖市一诊)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则a10－a12的值为()a6－a8A．2B．4C．8D．16答案B分析a5＝±a4·a6＝±16＝±4，q2＝a5>0，∴a5＝4，q2＝2，a3a10－a124则＝q＝4.4．(2017·西太原三模山)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x鵓陝咼鵡脶吓審辙嘗讽噓譖跻闲寢。的图象上，等比数列{bn}知足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则以下结论正确的选项是()A．Sn＝2TnB．Tn＝2bn＋1C．Tn>anD．Tn1的n的最小值为()A．4B．5C．6D．7答案C分析∵{an24＝a3，∴a32＝a3，∴a3＝1.又∵q>1，}是各项均为正数的等比数列，且aaa11(n>3)，∴Tn>Tn－1(n≥4，n∈N*)，T1<1，T2＝a1·a2<1，T3＝a1·a2·a3＝a1a2＝侪頡胁蹒鹪倾辐髕貨耻紿宫還貽聰。24＝a1234＝a1<1，T5＝a12345＝a35＝1，T6＝T56＝a6，故n的最小值为6，T<1，Taaa·a·a·a·a·a>1应选C.16．(2017·汉市武昌区调研武)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1n＝(－1)nan(n∈N*)，则数列賣圣赆貰骇孌懷遲鏵饭赆砖轳钱農。2{Sn}的前9项和为________．341答案－1n分析由于Sn＋2n＝(－1)an，1n1所以Sn－1＋2n－1＝(－1)－an－1(n≥2)．1錾釙寝线侥蒞煙览坠滨掼囀睾讨題。两式相减得Sn－Sn－1＋2n－2n－1(－1)nan－(－1)n－1an－1，1nan＋(－1)nan－1(n≥2)，即an－n＝(－1)21当n为偶数时，an－n＝an＋an－1，2即an－11＝－n，2此时n－1为奇数，所以若n为奇数，1则an＝－2n＋1；1当n为奇数时，an－2n＝－an－an－1，1即2an－2n＝－an－1，1所以an－1＝2n－1，此时n－1为偶数，1所以若n为偶数，则an＝2n.所以数列{an}的通项公式为1－2n＋1，n为奇数，an＝12n，n为偶数.所以数列{Sn}的前9项和为S1＋S2＋S3＋＋S9＝9a1＋8a2＋7a3＋6a4＋＋3a7＋2a8＋a9＝趕刚癫篱荭馅铒缯騖厅龔郟諸恺蝈。(9a1＋8a2)＋(7a3＋6a4)＋＋(3a7＋2a8)＋a9＝－1111122－24－26－28－21011522×1－4341＝－1－1＝－1024.4
浙公网安备 33021202002483