R语言实验6

实验6参数估计一、实验目的：1.掌握矩法估计与极大似然估计的求法；2.学会利用R软件完成一个和两个正态总体的区间估计；3.学会利用R软件完成非正态总体的区间估计；4.学会利用R软件进行单侧置信区间估计。二、实验内容：练习：要求：①完成练习并粘贴运行截图到文档相应位置(截图 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 见下)，并将所有自己输入文字的字体颜色设为红色（包括后面的思考及小结），②回答思考题，③简要书写实验小结。④修改本文档名为“本人完整学号姓名1”，其中1 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示第1次实验，以后更改为2,3,...。如文件名为“09张立1”，表示学号为09的张立同学的第1次实验，注意文件名中没有空格及任何其它字符。最后连同数据文件、源程序文件等（如果有的话，本次实验没有），一起压缩打包发给课代表，压缩包的文件名同上。截图方法：法1：调整需要截图的窗口至合适的大小，并使该窗口为当前激活窗口（即该窗口在屏幕最前方），按住键盘Alt键（空格键两侧各有一个）不放，再按键盘右上角的截图键（通常印有“印屏幕”或“PrScrn”等字符），即完成截图。再粘贴到word文档的相应位置即可。法2：利用QQ输入法的截屏工具。点击QQ输入法工具条最右边的“扳手”图标，选择其中的“截屏”工具。）1.自行完成教材P163页开始的节中的例题。2.（习题）设总体的分布密度函数为(1)x0x1,f(x;)0其他,X，X，…，X为其样本，求参数的矩估计量ˆ和极大似然估计量ˆ。现测得12n12样本观测值为,,,,,求参数的估计值。解：先求参数的矩估计量ˆ。由于只有一个参数，因此只需要考虑E(X)=X。1而由E(X)的定义有：111E(X)=xf(x)dxx(1)xdxx2|12020111因此X，解得ˆ2。211X以下请根据上式完成R程序，计算出参数的矩估计量ˆ的值。1源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）x<-c,,,,,>(2*mean(x)-1)/(1-mean(x))[1]下面再求参数的极大似然估计量ˆ。只需要考虑x(0,1)部分。依题意，2nn此分布的似然函数为L(;x)=f(x;)(1)n(x)iii1i1n相应的对数似然函数为lnL(;x)=nln(+1)+lnxii1lnL(;x)nn令lnx=01ii1nn解此似然方程得到1，或写为1。nnlnxlnxiii1i12lnL容易验证0，从而使得L达到极大，即参数的极大似然估计量2nunˆ1。2nlnXii1以下请根据上式完成R程序，计算出参数的极大似然估计量ˆ的值。2源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）>f<-function(a)6/(a+1)+sum(log(x))>uniroot(f,c(0,1))$root[1]$[1]$iter[1]5$[1]NA2$[1]3.（习题）设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为组中5123456值x555555i频数3211742v65455000055i如果各组中数据都取为组中值，试用极大似然函数估计求的点估计。提示：n①根据教材P168例知，指数分布中参数的极大似然估计是n/X。ii1②利用rep()函数。解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）x<-c(rep(5,365),rep(15,245),rep(25,150),rep(35,100),rep(45,70),rep(55,45),rep(65,25))>1000/sum(x)[1]4.（习题）为检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数（假设一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布），其化验结果如下：大肠杆菌0123456数/升水的升数1212100700试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大解：此题实际就是求泊松分布中参数的极大似然估计。ke泊松分布的分布律为P{X=k}=,k=0,1,2,…,>0k!设x，x，…，x为其样本X，X，…，X的一组观测值。12n12n于是此分布的似然函数为L(;x)=L(;x，…，1nxxiniei1x)=ennx!x!x!i1i1nnn相应的对数似然函数为lnL(;x)=-n+xln-ln(x!)iii1i13lnL(;x)1n令nx=0ii1解此似然方程得到x2lnL容易验证0，从而使得L达到极大，即参数的极大似然估计量2ˆX。以下请据此完成R程序，计算出参数的极大似然估计量ˆ的值。同上题，也需要利用rep()函数。源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）x<-c(rep(0,17),rep(1,20),rep(2,10),rep(3,2),rep(4,1),rep(5,0),rep(6,0))>mean(x)[1]15.（习题）利用R软件中的nlm()函数求解无约束优化问题minf(x)=(-13+x+((5-x)x-2)x)2+(-29+x+((x+1)x-14)x)2,12221222取初始点x(0)=,-2)T。提示：参考教材P173 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 （）对应的例题。解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）obj<-function(x){f<-c(-13+x[1]+((5-x[2])*x[2]-2)*x[2],-29+x[1]+((x[2]+1)*x[2]-14)*x[2])sum(f^2)}>source("")>x0<-c,-2)>nlm(obj,x0)$minimum[1]$estimate[1]$gradient[1]$code[1]1$iterations[1]16结论：$minimum是函数的最目标值，即f*=，$estimate是最优点的估计值，即x*=(,T;$gradient是在最优点处（估计值）目标函数梯度值，即f*,T;$code是指标，这里是1，表示迭代成功；$iterations4是迭代次数，这里是16，表示迭代了16次迭代。6.（习题）正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅中毒患者的脉搏数(次/min)如下：54676878706667706569已知人的脉搏次数服从正态分布，试计算这10名患者平均脉搏次数的点估计和95%的区间估计。并作单侧区间估计，试分析这10患者的平均脉搏次数是否低于正常人的平均脉搏次数。提示：此题是一个正态总体的估计问题，且由于总体方差未知，因此可以直接使用R语言中()函数进行分析。解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）x<-c(54,67,68,78,70,66,67,70,65,69)>(x)#()做单样本正态分布区间估计OneSamplet-testdata:xt=,df=9,p-value=alternativehypothesis:truemeanisnotequalto095percentconfidenceinterval:sampleestimates:meanofx>(x,alternative="less"，mu=72)#()做单样本正态分布单侧间估计OneSamplet-testdata:xt=,df=9,p-value=alternativehypothesis:truemeanislessthan7295percentconfidenceinterval:-Infsampleestimates:meanofx结论：双侧区间估计：平均脉搏点估计为，95%区间估计为；单侧区间估计：p=<,拒绝原假设，平均脉搏低于正常人。7.（习题）甲、乙两种稻种分别播种在10块试验田中，每块试验田甲、乙稻种各种一半。假设两稻种产量X,Y均服从正态分布，且方差相等。收获后10块试验田的产量如下所示（单位：千克）。5甲1111111111种40373640454840354441乙1111111111种35181540283130153125求出两稻种产量的期望差-的置信区间（=）。12提示：此题是两个正态总体的区间估计问题，且由于两总体方差未知，因此可以直接使用R语言中()函数进行分析。()可做两正态样本均值差的估计。注意此例中两样本方差相等。参考教材P185倒数第四行开始至P186。解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）>x<-c(140,137,136,140,145,148,140,135,144,141)>y<-c(135,118,115,140,128,131,130,115,131,125)>(x,y,=TRUE)TwoSamplet-testdata:xandyt=,df=18,p-value=alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:sampleestimates:meanofxmeanofy结论：期望差的95%置信区间为8.（习题）甲、乙两组生产同种导线，现从甲组生产的导线中随机抽取4根，从乙组生产的导线中随机抽取5根，它们的电阻值（单位：）分别为甲组已组假设两组电阻值分别服从正态分布N(,2)和N(,2)，2未知。试求11-的置信区间系数为的区间估计。12提示：此题是两个正态总体的估计问题，且由于两总体方差未知，因此可以直接使用R语言中()函数进行分析。()可做两正态样本均值差的估计。注意此例中两样本方差相等。参考教材P185倒数第四行开始至P186。解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）>x<-c,,,>y<-c,,,,>(x,y,=TRUE)6TwoSamplet-testdata:xandyt=,df=7,p-value=alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:sampleestimates:meanofxmeanofy结论：期望差的95%区间估计为9.（习题）对习题中甲乙两种稻种的数据作方差比的区间估计，并用其估计值来判定两数据是否等方差。若两数据方差不相等，试重新计算两稻种产量的期望差-的置信区间（=）。12提示：在R软件中，()函数能够提供两个样本方差比的区间估计。参考教材P189倒数第6行开始的内容。此结果可认为方差不等。因此重新计算期望差时应该采取方差不等的参数。解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）>x<-c(140,137,136,140,145,148,140,135,144,141)>y<-c(135,118,115,140,128,131,130,115,131,125)>(x,y)Ftesttocomparetwovariancesdata:xandyF=,numdf=9,denomdf=9,p-value=alternativehypothesis:trueratioofvariancesisnotequalto195percentconfidenceinterval:0.sampleestimates:ratioofvariances>(x,y,)WelchTwoSamplet-testdata:xandyt=,df=,p-value=alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:7sampleestimates:meanofxmeanofy结论：期望差的95%置信区间为10.（习题）设电话总机在某段时间内接到的呼唤的次数服从参数未知的Poisson分布P()，现收集了42个数据接到呼唤0123456次数出现的频7118320数02试求出平均呼唤次数的估计值和它的置信系数为的置信区间。此题给出完整答案，供参考。解：从习题已经知道，平均呼唤次数的估计值就是X。此题是非正态总体的区间估计问题。但由中心极限定理可知，此类问题其置信区间与方差2未知时一个正SS态总体的均值的置信区间完全一样，即为[X-Z,X+Z]。参考教材P190n/2n/2公式（）及其后的程序。源代码及运行结果：>x<-c(rep(0,7),rep(1,10),rep(2,12),rep(3,8),rep(4,3),rep(5,2))>n<-length(x)>tmp<-sd(x)/sqrt(n)*qnorm2)>mean(x)[1]>mean(x)-tmp;mean(x)+tmp#置信区间的下限和上限[1][1]结论：平均呼唤次数为的置信区间为[,]。11.（习题）已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）为1067919119678511269369181156920948求灯泡寿命平均值的置信度为的单侧置信下限。提示：此题是一个正态总体的区间估计问题，且由于总体方差未知，因此可以直接使用R语言中()函数进行分析。根据教材P191定义知，单侧置信下限，()函数中的参数alternative="greater"。参考教材P193-194的例及其后面一段文字。解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）8x<-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)>(x,alternative="greater")OneSamplet-testdata:xt=,df=9,p-value=alternativehypothesis:truemeanisgreaterthan095percentconfidenceinterval:Infsampleestimates:meanofx结论：灯泡平均寿命置信度95%的单侧置信度下限为思考：1.常用的点估计的方法有哪些距法，极大似然法，最小二乘法等。2.估计量的优良性准则有哪些无偏性，有效性和相合性（一致性）3.在R语言中，求矩法估计时，如果令总体的k阶原点矩等于它样本的k阶原点矩得到的k个方程无法求出解析解，此时需要调用教材P103的节作者编写的Newton法程序求此方程组的解。在求极大似然估计时需要求解（对数）似然函数的极大值，如果无法求出其相应似然方程的解析解，若此（对数）似然函数是一维变量，可以用R中的_optimeize()(或optimise())_____函数变相求解此（对数）似然函数的相反数的极小值若此（对数）似然函数是多维变量，可以用R中的__nlm()__函数变相求解min–L(;x)或min–lnL(;x)三、实验小结（必写，但字数不限）这次实验主要学会掌握矩法估计与极大似然估计的求法，会利用R软件完成一个和两个正态总体的区间估计，非正态总体的区间估计和单侧置信区间估计，还要会分析结果，得出结论。懂得什么样的题，用什么样的方法和函数。通过这次实验，已经掌握了一些基本参数估计知识，要多看书本，多加练习。9