2003年高数（二）试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
与解答填空题本题共6小题，每小题4分，满分24分.（1）若时，与是等价无穷小，则a=-4.（2）设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0.（3）的麦克劳林公式中项的系数是.（4）设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.（5）设为3维列向量，是的转置.若，则=3.（6）设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则.二、选择题本题共6小题，每小题4分，满分24分.（1）设均为非负数列，且,,,则必有(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.[D]（2）设,则极限等于(A).(B).(C).(D).[B]（3）已知是微分方程的解，则的表达式为（A）(B)(C)(D)[A]（4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有一个极小值点和两个极大值点.两个极小值点和一个极大值点.两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx（5）设,,则(A)(B)(C)(D)[B]（6）设向量组=1\*ROMANI：可由向量组=2\*ROMANII：线性表示，则(A)当时，向量组=2\*ROMANII必线性相关.(B)当时，向量组=2\*ROMANII必线性相关.(C)当时，向量组=1\*ROMANI必线性相关.(D)当时，向量组=1\*ROMANI必线性相关.[D]三、本题满分10分设函数问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【答案】===令，有，得或.当a=-1时，，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，，因而x=0是f(x)的可去间断点.四、本题满分9分设函数y=y(x)由参数方程所确定，求【答案】由，，得所以==当x=9时，由及t>1得t=2,故五、本题满分9分计算不定积分【答案】设，则==又==，故因此==六、本题满分12分设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.【答案】(1)由反函数的求导公式知，于是有==.代入原微分方程得(*)(2)方程(*)所对应的齐次方程的通解为设方程(*)的特解为，代入方程(*)，求得，故，从而的通解是由，得.故所求初值问题的解为七、本题满分12分讨论曲线与的交点个数.【答案】设，y则有4-k不难看出，x=1是的驻点.O1x当时，，即单调减少；当x>1时，，即单调增加，故为函数的最小值.当k<4，即4-k>0时，无实根，即两条曲线无交点；当k=4，即4-k=0时，有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当k>4，即4-k<0时，由于；，故有两个实根，分别位于(0,1)与内，即两条曲线有两个交点.八、本题满分12分设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.求曲线y=f(x)的方程；已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.【答案】(1)曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为，其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标.令X=0，则，故Q点的坐标为由题设知，即积分得(C为任意常数).由知C=1，故曲线y=f(x)的方程为(2)曲线y=sinx在[0，]上的弧长为曲线y=f(x)的参数方程为故，令，则=九、本题满分10分有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；求曲线的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)【答案】(1)设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为,从而(2)液面的高度为y时，液体的体积为上式两边对y求导，得，即解此微分方程，得，其中C为任意常数，由知C=2,故所求曲线方程为十、本题满分10分设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且若极限存在，证明：在(a,b)内f(x)>0;在(a,b)内存在点，使；(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使【答案】(1)因为存在，故又，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故(2)设F(x)=,,则，故满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使，即.(3)因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由(2)的结论得，即有十一、本题满分10分若矩阵相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使【答案】矩阵A的特征多项式为=，故A的特征值为由于A相似于对角矩阵，故对应应有两个线性无关的特征向量，即，于是有由，知a=0.于是对应于的两个线性无关的特征向量可取为，当时，，解方程组得对应于的特征向量令，则P可逆，并有十二、本题满分8分已知平面上三条不同直线的方程分别为，，.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为【答案】必要性设三条直线交于一点，则线性方程组(*)有唯一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是由于=,但根据题设，故充分性：由，则从必要性的证明可知，，故秩由于=，故秩(A)=2.于是，秩(A)=秩=2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.
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