高考数学（理科）一轮复习名师公开课省级获奖课件：第3章-第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式（人教版A

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）第二节　同角三角 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的基本关系与诱导公式考纲传真　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx．2.能利用单位圆中的三角函数线推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）sin2α＋cos2α＝11．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：．tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）函数名改变符号看象限函数名不变符号看象限口诀－tanα－tanαtanαtanα正切－sinαsinα－cosαcosα－cosαcosα余弦cosαcosαsinα－sinα－sinαsinα正弦π－α－απ＋α2kπ＋α(k∈Z)角六五四三二一组数2．六组诱导公式eq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是角α是锐角(　　)(2)cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosθ＝eq\f(1,3)(　　)(3)若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,tanα)(　　)(4)若sinα＋cosα＝1，那么有sinnα＋cosnα＝1(　　)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【解析】　由诱导公式，知(1)(2)不正确．当α≠eq\f(kπ,2)时，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(cosα,－sinα)＝－eq\f(1,tanα)，(3)正确．由sinα＋cosα＝1，知α＝2kπ或α＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴sinnα＋cosnα＝1，(4)正确．【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）2．(人教A版教材习题改编)已知cos(α－π)＝－eq\f(5,13)，且α是第四象限角，则sinα＝(　　)A．－eq\f(12,13)　　　　B.eq\f(12,13)　　　　C.eq\f(5,12)　　　　D．±eq\f(12,13)【解析】　∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(5,13)，∴cosα＝eq\f(5,13)，又α是第四象限角，∴sinα＜0，则sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(12,13).【答案】　A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）3．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，则θ等于(　　)A．－eq\f(π,6)B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)【解析】　由sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)得－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3)，又|θ|＜eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).【答案】　D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）4．(2013·广东高考改编)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，则sinα＝________.【解析】　由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(1,5)，∴sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\f(2,5)eq\r(6).【答案】　±eq\f(2,5)eq\r(6)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）5．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝________.【解析】　sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).【答案】　eq\f(4,5)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）考向1　同角三角函数关系式的应用【例1】　(1)已知α为第二象限角，sinα＝eq\f(3,5)，则sin2α＝________.(2)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则sin2α－sinαcosα的值是(　　)A.eq\f(2,5)　　　B．－eq\f(2,5)　　　C．－2　　　D．2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【思路点拨】　(1)由平方关系，求cosα，进而利用二倍角公式求值．(2)先根据已知条件求得tanα，再将待求式变形为分子、分母关于“弦函数”的二次齐次求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【尝试解答】　(1)∵α为第二象限角且sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＝2sinα·cosα＝2×eq\f(3,5)×(－eq\f(4,5))＝－eq\f(24,25).(2)由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，解之得tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2,5).【答案】　(1)－eq\f(24,25)　(2)A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）规律方法1　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）变式训练1　(2013·课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，则sinθ＋cosθ＝________.【解析】　∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝eq\f(1,2)，解得tanθ＝－eq\f(1,3).∴(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋2tanθ＋1,tan2θ＋1)＝eq\f(\f(1,9)－\f(2,3)＋1,\f(1,9)＋1)＝eq\f(2,5).菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）∵θ为第二象限角，tanθ＝－eq\f(1,3)，∴2kπ＋eq\f(3π,4)＜θ＜2kπ＋π，∴sinθ＋cosθ＜0，∴sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(10),5).【答案】　－eq\f(\r(10),5)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）考向2　诱导公式的应用【例2】　已知f(α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π)，(1)化简f(α)；(2)若cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，且α是第三象限角，求f(α)的值．【思路点拨】　(1)直接利用诱导公式化简约分．(2)利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f(α)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【尝试解答】　(1)f(α)＝eq\f(sinα－\f(π,2)·cos\f(3π,2)＋α·tanπ－α,tan－α－π·sin－α－π)＝eq\f(－cosα·sinα·－tanα,－tanα·sinα)＝－cosα.(2)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，∴－sinα＝eq\f(1,5)，即sinα＝－eq\f(1,5).又α为第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6),5).高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）规律方法2　1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）变式训练2　(2014·郑州质检)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))，则eq\f(sin3π－α＋cosα＋π,5cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α)))的值为________．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【解析】　∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))∴－sinα＝－2cosα，则sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝eq\f(1,5).eq\f(sin3π－α＋cosα＋π,5cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)π－α)))＝eq\f(sin3α－cosα,5sinα－3cosα)＝eq\f(8cos3α－cosα,7cosα)＝eq\f(8,7)cos2α－eq\f(1,7)＝eq\f(3,35).【答案】　eq\f(3,35)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）考向3　sinα±cosα与sinα·cosα的关系【例3】　(2014·扬州模拟)已知－π＜x＜0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．【思路点拨】　(1)利用平方关系，设法沟通sinx－cosx与sinx＋cosx的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【尝试解答】　(1)由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).由－π＜x＜0，知sinx＜0，又sinx＋cosx＞0，∴cosx＞0，sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175).菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）规律方法3　1.第(1)问应注意x的范围对sinx－cosx的符号的影响．事实上根据条件可进一步判定x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)).2．(1)对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，转化公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，体现了方程思想的应用；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）变式训练3　(1)已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，则tanα＝(　　)A．－1　　　B．－eq\f(\r(2),2)　　　C.eq\f(\r(2),2)　　　D．1(2)(2013·青岛评估)若△ABC的内角A满足sin2A＝eq\f(2,3)，则sinA＋cosA＝________.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【解析】　(1)∵sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，∴1－2sinαcosα＝2，则sin2α＝－1.因此2α＝eq\f(3,2)π，则tanα＝taneq\f(3,4)π＝－1.(2)在△ABC中，sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(2,3)>0.∴A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinA＋cosA>0.又(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝eq\f(5,3)，故sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3).【答案】　(1)A　(2)eq\f(\r(15),3)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．两个防范1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）三种方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝taneq\f(π,4)等.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）从近两年高考试题看，同角三角函数关系与诱导公式的考查以化简、求值为主，题型为选择、填空题的形式，试题不超过中等难度；并注重与倍角、两角和、两角差等公式渗透，考查基本运算和转化思想，求解时常见错误是忽视三角函数值符号的判断．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）易错辨析之三　忽视三角函数值符号的判断致误(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，则cos2α＝(　　)A．－eq\f(\r(5),3)　　　B．－eq\f(\r(5),9)　　　C.eq\f(\r(5),9)　　　D.eq\f(\r(5),3)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【错解】　∵sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,3)，∴2sinαcosα＝－eq\f(2,3)，即sin2α＝－eq\f(2,3).又∵α为第二象限角，∴2kπ＋eq\f(π,2)＜α＜2kπ＋π(k∈Z)．∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π(k∈Z)．∴cos2α＝eq\r(1－sin22α)＝eq\f(\r(5),3).【答案】　D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）错因分析：(1)忽视隐含条件sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)＞0这一隐含条件．(2)忽视三角函数值符号的判断．防范措施：(1)由sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，隐含着sinα＋cosα＞0，即sinα＞－cosα，结合α为第二象限角可进一步约束角α的范围．(2)利用平方关系求三角函数值，开方时应注意三角函数值符号的判断．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【正解】　∵sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,3)，∴2sinαcosα＝－eq\f(2,3)，即sin2α＝－eq\f(2,3).又∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝eq\f(\r(3),3)>0，∴2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋eq\f(3,4)π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－eq\r(1－sin22α)＝－eq\f(\r(5),3).【答案】　A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）1．(2013·大纲全国卷改编)已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，则tanα的值是(　　)A.eq\f(5,12)B．－eq\f(5,12)C.eq\f(12,5)D．－eq\f(12,5)【解析】　∵sinα＝eq\f(5,13)，且α是第二象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(12,13)，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12).【答案】　B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）2．(2013·浙江高考改编)已知sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)(α∈R)，则tan2α＝________.【解析】　由sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，平方得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝eq\f(5,2)，整理，3sin2α－8sinαcosα－3cos2α＝0，∴3tan2α－8tanα－3＝0，则tanα＝3或tanα＝－eq\f(1,3).代入tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，得tan2α＝－eq\f(3,4).【答案】　－eq\f(3,4)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）课时作业