数学建模中的数据处理方法非常全

会计学1数学建模中的数据处理方法非常全【主要内容】曲线插值与拟合数值微分与积分微分方程数值解优化问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题  回归分析判别分析第1页/共80页曲线插值与拟合一维插值二维插值曲线拟合第2页/共80页一维插值对 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 给出的函数，求出没有给出的函数值。在实际工作中，经常会遇到插值问题。下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 是待加工零件下轮廓线的一组数据，现需要得到x坐标每改变0.1时所对应的y的坐标.第3页/共80页一维插值下面是关于插值的两条命令(专门用来解决这类问题)：y=interp1(x0,y0,x,’method’)分段线性插值y=spline(x0,y0,x)三次样条插值x0,y0是已知的节点坐标，是同维向量。y对应于x处的插值。y与x是同维向量。method可选’nearest’(最近邻插值),’linear’(线性插值),’spline’(三次样条插值),’cubic’(三次多项式插值)第4页/共80页一维插值解决上述问题,我们可分两步:用原始数据绘图作为选用插值方法的参考.确定插值方法进行插值计算第5页/共80页一维插值(px_lc11.m)对于上述问题,可键入以下的命令:x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]';y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]'plot(x0,y0)%完成第一步工作x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x');%用分段线性插值完成第二步工作plot(x,y)y=spline(x0,y0,x');plot(x,y)%用三次样条插值完成第二步工作第6页/共80页练习对y=1/(1+x2),-5≤x≤5，用n（=11）个节点（等分）作上述两种插值，用m（=21）个插值点（等分）作图，比较结果。(see:px_ex_lc1.m) 在某处测得海洋不同深度处水温如下表：求深度为500、1000、1500米处的水温。(see:px_ex_lc2.m)第7页/共80页二维插值MATLAB中二维插值的命令是：z=interp2（x0,y0,z0,x,y,'meth'）第8页/共80页二维插值在一个长为5个单位，宽为3个单位的金属薄片上测得15个点的温度值，试求出此薄片的温度分布，并绘出等温线图。（数据如下表）第9页/共80页二维插值(px_lc21.m)temps=[82,81,80,82,84;79,63,61,65,87;84,84,82,85,86];mesh(temps)%根据原始数据绘出温度分布图，可看到此图的粗造度。第10页/共80页二维插值%下面开始进行二维函数的三阶插值。width=1:5;depth=1:3;di=1:0.2:3;wi=1:0.2:5;[WI,DI]=meshgrid(wi,di);%增加了节点数目ZI=interp2(width,depth,temps,WI,DI,'cubic');%对数据（width,depth,temps）进%行三阶插值拟合。surfc(WI,DI,ZI)contour(WI,DI,ZI)第11页/共80页二维插值第12页/共80页曲线拟合假设一函数g(x)是以表格形式给出的，现要求一函数f(x)，使f(x)在某一准则下与表格函数（数据）最为接近。由于与插值的提法不同，所以在数学上理论根据不同，解决问题的方法也不同。此处，我们总假设f(x)是多项式。第13页/共80页曲线拟合问题：弹簧在力F的作用下伸长x厘米。F和x在一定的范围内服从虎克定律。试根据下列数据确定弹性系数k,并给出不服从虎克定律时的近似公式。第14页/共80页曲线拟合解题思路：可以用一阶多项式拟合求出k，以及近似公式。在MATLAB中，用以下命令拟合多项式。polyfit（x0,y0,n）一般，也需先观察原始数据的图像，然后再确定拟和成什么曲线。第15页/共80页曲线拟合(px_lc31.m)对于上述问题,可键入以下的命令:x=[1,2,4,7,9,12,13,15,17]';F=[1.5,3.9,6.6,11.7,15.6,18.8,19.6,20.6,21.1]';plot(x,F,'.')从图像上我们发现:前5个数据应与直线拟合,后5个数据应与二次曲线拟合。于是键入:a=polyfit(x(1:5),F(1:5),1);a=polyfit(x(5:9),F(5:9),2)第16页/共80页曲线拟合注意：有时，面对一个实际问题，究竟是用插值还是用拟合不好确定，还需大家在实际中仔细区分。同时，大家（包括学过计算方法的同学）注意去掌握相应的理论知识。第17页/共80页数值微分与积分数值积分 数值微分第18页/共80页数值积分先看一个例子：现要根据瑞士地图计算其国土面积。于是对地图作如下的测量：以西东方向为横轴，以南北方向为纵轴。（选适当的点为原点）将国土最西到最东边界在x轴上的区间划取足够多的分点xi，在每个分点处可测出南北边界点的对应坐标y1，y2。用这样的方法得到下表根据地图比例知18mm相当于40km，试由上表计算瑞士国土的近似面积。（精确值为41288km2）。第19页/共80页数值积分第20页/共80页数值积分解题思路：数据实际上表示了两条曲线，实际上我们要求由两曲线所围成的图形的面积。解此问题的方法是数值积分的方法。具体解时我们遇到两个问题：1。数据如何输入；2。没有现成的命令可用。第21页/共80页数值积分(px_wj11.m)对于第一个问题，我们可把数据拷贝成M文件（或纯文本文件）。然后，利用数据绘制平面图形。键入 loadmianji.txtA=mianji';plot(A(:,1),A(:,2),'r',A(:,1),A(:,3),'g')第22页/共80页数值积分第23页/共80页数值积分接下来可以计算面积。键入：a1=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,2)*40/18);a2=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,3)*40/18);d=a2-a1d=4.2414e+004第24页/共80页数值积分至此，问题可以说得到了解决。 之所以说还有问题，是我们觉得误差较大。但计算方法的理论给了我们更精确计算方法。只是MATLAB没有相应的命令。 想得到更理想的结果，我们可以自己 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 解决问题的方法。（可以编写辛普森数值计算公式的程序，或用拟合的方法求出被积函数，再利用MATLAB的命令quad,quad8）第25页/共80页数值微分已知20世纪美国人口统计数据如下，根据数据计算人口增长率。（其实还可以对于后十年人口进行预测）第26页/共80页数值微分解题思路：设人口是时间的函数x(t).于是人口的增长率就是x(t)对t的导数.如果计算出人口的相关变化率。那么人口增长满足，它在初始条件x(0)=x0下的解为.（用以检查计算结果的正确性）第27页/共80页数值微分解：此问题的特点是以离散变量给出函数x(t),所以就要用差分来表示函数x(t)的导数.常用后一个公式。（因为，它实际上是用二次插值函数来代替曲线x(t)）即常用三点公式来代替函数在各分点的导数值：第28页/共80页数值微分MATLAB用命令diff按两点公式计算差分;此题自编程序用三点公式计算相关变化率.编程如下(diff3.m):fori=1:length(x)ifi==1r(1)=(-3*x(1)+4*x(1+1)-x(1+2))/(20*x(1));elseifi~=length(x)r(i)=(x(i+1)-x(i-1))/(20*x(i));elser(length(x))=(x(length(x)-2)-4*x(length(x)-1)+3*x(length(x)))/(20*x(length(x)));endendr=r;第29页/共80页数值微分保存为diff3.m文件听候调用.再在命令窗内键入X=[1900,1910,1920,1930,1940,1950,1960,1970,1980,1990];x=[76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4];diff3;由于r以离散数据给出,所以要用数值积分计算.键入x(1,1)*exp(trapz(X(1,1:9),r(1:9)))数值积分命令：trapz(x),trapz(x,y),quad(‘fun’,a,b)等.第30页/共80页微分方程数值解(单摆问题)单摆问题的数学模型是在初始角度不大时,问题可以得到很好地解决,但如果初始角较大,此方程无法求出解析解.现问题是当初始角为100和300时,求出其解,画出解的图形进行比较。第31页/共80页微分方程数值解(单摆问题)解:若θ0较小,则原方程可用来近似.其解析解为θ(t)=θ0cosωt,. 若不用线性方程来近似,那么有两个模型:第32页/共80页微分方程数值解(单摆问题)取g=9.8,l=25,100=0.1745,300=0.5236.用MATLAB求这两个模型的数值解,先要作如下的处理:令x1=θ,x2=θ’,则模型变为第33页/共80页微分方程数值解(单摆问题)再编函数文件(danbai.m)functionxdot=danbai(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=x(2);xdot(2)=-9.8/25*sin(x(1));第34页/共80页微分方程数值解(单摆问题)在命令窗口键入()[t,x]=ode45(‘danbai’,[0:0.1:20],[0.1745,0]);[t,y]=ode45(‘danbai’,[0:0.1:20],[0.5236,0]);plot(t,x(:,1),’r’,t,y(:,1),’k’);第35页/共80页优化问题线性规划有约束极小问题 非线性规划有约束极小问题 非线性无约束极小问题 非线性最小二乘问题二次规划第36页/共80页线性规划有约束极小问题模型     用命令[x,fval]=linprog(f,A,b,A1,b1,lb,ub)第37页/共80页线性规划有约束极小问题Findxthatminimizesf(x)=-5x1-4x2-6x3subjecttox1-x2+x3≦203x1+2x2+4x3≦423x1+2x2≦300≦x1,0≦x2,0≦x3第38页/共80页线性规划有约束极小问题第39页/共80页线性规划有约束极小问题解问题把问题极小化并将约束标准化第40页/共80页线性规划有约束极小问题键入c=[-2,-3,5];a=[-2,5,-1];b=-10;a1=[1,1,1];b1=7;LB=[0,0,0];[x,y]=linprog(c,a,b,a1,b1,LB)得当X=(6.4286,0.5714,0.0000)时,z=-14.5714最大.第41页/共80页线性规划有约束极小问题解问题第42页/共80页线性规划有约束极小问题解:键入c=[-2,-1,1];a=[1,4,-1;2,-2,1];b=[4;12];a1=[1,1,2];b1=6;lb=[0;0;-inf];ub=[inf;inf;5];[x,z]=linprog(c,a,b,a1,b1,lb,ub)得当X=(4.6667,0.0000,0.6667)时,z=-8.6667最小.第43页/共80页非线性规划有约束极小问题模型：MATLAB求解此问题的命令是：[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(‘fun’,x0,A,b,A1,b1,LB,UB,’nonlcon’,options,p1,p2,…)fun是目标函数的m_文件名.nonlcon是约束函数C(x)和C1(x)的m_文件名.文件输出为[C,C1].第44页/共80页非线性规划有约束极小问题求解最优化问题第45页/共80页非线性规划有约束极小问题第1步:建立目标函数和非线性约束的m_文件.functiony=e1511(x)%目标函数的m_文件y=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); function[c1,c2]=e1511b(x)%非线性约束的m_文件c1=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];c2=0;第46页/共80页非线性规划有约束极小问题第2步:运行程序.键入x0=[-1,1];a1=[1,1];b1=0;[x,f,exitflab,output]=fmincon(‘e1511’,x0,[],[],a1,b1,[],[],’e1511b’)得结果.输出结果的意义:经过4次迭代(iterations:4)收敛到了(exitfag=1)最优解x(1)=-1.2247,x(2)=1.2247,目标函数最优值为1.8951.第47页/共80页非线性无约束极小问题用命令x=fmin('f',x0)。或用命令x=fminu('f',x0)，或用命令x=fmins('f',x0)。第48页/共80页非线性最小二乘问题用命令x=leastsq('f',x0)，或用命令x=curvefit('f',x0)。第49页/共80页二次规划用命令x=qp(H,c,A,b)。关于这些命令的详细使用规则和例子，用借助help进行查阅。第50页/共80页回归分析前面我们曾学过拟合。但从统计的观点看，对拟合问题还需作回归分析。例如：有描述问题甲和问题乙的两组数据(x,y)和(x,z)。设x=[1，2，3，4]；y=[1.0，1.3，1.5,2.02.3];z=[0.6,1.95,0.9,2.85,1.8]。如果在平面上画出散点图，那么问题甲的四个点基本在一条直线上而问题乙的四个点却很散乱。如果都用命令polyfit(x,y,1)，polyfit(x,z,1)来拟合，将得到同一条直线。第51页/共80页回归分析自然对问题甲的信任程度会高于对问题乙的信任程度。所以有必要对所得结果作科学的 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 分析。回归分析就是解决这种问题的科学方法。下面结合三个具体的例子介绍MATLAB实现回归分析的命令。第52页/共80页回归分析合金强度y与其中含碳量x有密切关系，如下表根据此表建立y(x)。并对结果作可信度进行检验、判断x对y影响是否显著、检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。第53页/共80页回归分析解：在x-y平面上画散点图，直观地知道y与x大致为线性关系。用命令polyfit(x,y,1)可得y=140.6194x+27.0269。作回归分析用命令[b,bint,r,rint,ststs]=regress(y,x,alpha)可用help查阅此命令的具体用法残差及置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图第54页/共80页回归分析设回归模型为y=β0+β1x,在MATLAB命令窗口中键入下列命令进行回归分析(px_reg11.m)x=0.1:0.01:0.18;x=[x,0.2,0.21,0.23]';y=[42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5]';X=[ones(12,1),x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,0.05);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)第55页/共80页回归分析得结果和图b=27.0269140.6194bint=22.322631.7313111.7842169.4546stats=0.9219118.06700.00003.1095第56页/共80页回归分析结果含义为β0=27.0269β1=140.6194β0的置信区间是[22.3226,31.7313]β1的置信区间是[111.7842,169.4546]第57页/共80页回归分析R2=0.9219F=118.0670,p<10-4.R是衡量y与x的相关程度的指标，称为相关系数。R越大，x与y关系越密切。通常R大于0.9才认为相关关系成立。F是一统计指标p是与F对应的概率，当p<0.05时，回归模型成立。此例中p=0<10-4<0.05，所以，所得回归模型成立。第58页/共80页回归分析观察所得残差分布图，看到第8个数据的残差置信区间不含零点，此点视为异常点，剔除后重新计算。第59页/共80页回归分析此时键入:(px_reg12.m)X(8,:)=[];y(8)=[];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)第60页/共80页回归分析b=27.0992137.8085bint=23.856330.3421117.8534157.7636stats=0.9644244.05710.00001.4332 可以看到：置信区间缩小；R2、F变大，所以应采用修改后的结果。第61页/共80页回归分析将17至19岁的运动员每两岁一组分为7组，每组两人测量其旋转定向能力，以考察年龄(x)对这种运动能力(y)的影响。现得到一组数据如下表试建立关系y(x)，并作必要的统计分析。第62页/共80页回归分析在x-y平面上画散点图，直观地知道y与x大致为二次函数关系。设模型为y=a1x2+a2x+a3此问题可以利用命令polyfit(x,y,2)来解，也可以像上题一样求解。下面介绍用命令polytool来解。第63页/共80页回归分析首先在命令窗口键入(px_reg21.m)x=17:2:29;x=[x,x];y=[20.48,25.13,26.1530,26.1,20.3,19.35,24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3];polytool（x,y,2）得到一个交互式窗口第64页/共80页回归分析第65页/共80页回归分析窗口中绿线为拟合曲线、红线为y的置信区间、可通过移动鼠标的十字线或通过在窗口下方输入来设定x值，窗口左边则输出与x对应的y值及y的置信区间。通过左下方的Export下拉菜单可输出回归系数等。更详细的解释可通过help查阅。第66页/共80页回归分析某厂生产的某产品的销售量与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关。下表是该产品在10个城市的销售记录。试建立关系y(x1，x2)，对结果进行检验。若某城市本厂产品售价160（元），对手售价170（元），预测此产品在该城市的销售量。第67页/共80页回归分析这是一个多元回归问题。若设回归模型是线性的，即设y=β0+β1x1+β2x2那么依然用regress(y,x,alpha)求回归系数。第68页/共80页回归分析键入(px_reg31.m)x1=[120,140,190,130,155,175,125,145,180,150];x2=[100,110,90,150,210,150,250,270,300,250];y=[102,100,120,77,46,93,26,69,65,85]';x=[ones(10,1),x1',x2'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);b,bint,stats,第69页/共80页回归分析b=66.51760.4139-0.2698bint=-32.5060165.5411-0.20181.0296-0.4611-0.0785stats=0.65276.57860.0247351.0445第70页/共80页回归分析p=0.0247,若显著水平取0,01，则模型不能用；R2=0.6527较小;β0，β1的置信区间包含零点。因此结果不理想。于是设模型为二次函数。此题设模型为纯二次函数：y=β0+β1x1+β2x2+β11x12+β22x22第71页/共80页回归分析MATLAB提供的多元二项式回归命令为rstool(x,y,model,alpha).其中alpha为显著水平、model在下列模型中选一个：Linear(线性)Purequadratic(纯二次)Interaction(交叉)Quadratic(完全二次)第72页/共80页回归分析对此例，在命令窗中键入x(:,1)=[];rstool(x,y,'purequadratic')得到一个对话窗：第73页/共80页回归分析第74页/共80页回归分析其意义与前面的对话窗意义类似。若要回答“本厂售价160，对手售价170，预测该市销售量”的问题，只需在下方窗口中分别肩入160和170，就可在左方窗口中读到答案及其置信区间。第75页/共80页回归分析下拉菜单Export向工作窗输出数据具体操作为：弹出菜单，选all，点击确定。此时可到工作窗中读取数据。可读数据包括：beta（回归系数）rmse（剩余标准差）residuals（残差）本题只要键入beta,rmse,residuals第76页/共80页回归分析第77页/共80页判别分析判别分析是判别样品所属类型的一种统计方法，其应用之广泛可与回归分析媲美。判别分析与聚类分析不同。判别分析的分类距离判别法Fisher判别法判别分析第78页/共80页MATLAB中还包括神经网络工具箱，小波分析工具箱，在网上还可以下载遗传算法工具箱，有兴趣的同学可以借这次机会，结合学习MATLAB，好好学习一下相关理论知识。最后，祝大家学习，竞赛都取得成功。谢谢大家。第79页/共80页