牛顿莱布尼兹两人同时创立了微积分第三章导数及其应用平均变化率问题一:工资增长率下面是一家公司的工资发放情况:工资的年薪s(单位：10元)与时间t(单位:年)成函数关系。30002600230021002000年薪54321年份公司的工资发放情况用y表示每年的平均工资增长率.试分析公司的效益发展趋势？第一次第二次0.62dm0.16dm观察小新接连两次吹气球时，气球的膨胀程度。问题二:气球膨胀率可以看出，随着气球的体积逐渐变大，气球的平均膨胀率逐渐变小了。当气球的空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？思考第0秒到第1秒这段时间内第1秒到第2秒这段时间内观察小男孩崩极时的平均速度变化重复观看请按4.9米14.7米问题三:高空崩极如果用小男孩在某段时间内的平均速度来描述其运动状态，那么-v在0t1这段时间内在1t2这段时间内-v1-v2作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=-gt212可以看出，随着跳后的时间的推移，小男孩下落的速度越来越大。思考小男孩跳后的时间从t1变化到t2时，平均速度是多少。h(t)=-gt212在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,问题四:高台跳水式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.令△x=x2–x1,△f=f(x2)–f(x1),则平均变化率的定义令x2=x1+△x，则思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率例1、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]432.1例2：已知函数分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上及的平均变化率。1.一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一段时间[1，2]内的平均速度为（ ）A．－4 B．－8 C．－6 D．6C练习题2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数的改变量为（ ）A．f(x0+△x) B．f(x0)+△xC．f(x0)·△x D．f(x0+△x)－f(x0)D3.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化率。△y=［5(2+△x)2+6］-(5×22+6)=20△x+5△x2所以平均变化率为小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:3.函数的平均变化率的几何意义：(1)求函数的增量：Δf；(2)计算平均变化率表示函数图象上两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))连线（割线）的斜率。在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10通过计算可得运动员在这段时间里的平均速度为0，这是否说明运动员在这段时间里是静止的？由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题？平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能反映某一刻的运动状态。这就需要用瞬时速度来更精细地刻画运动员的运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.如何求瞬时速度？在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求ｔ＝2时的瞬时速度？2我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当△ｔ＜0时，在2之前；当△ｔ＞0时，在2之后。△ｔ＜0时2＋△ｔ△ｔ＞0时2＋△ｔ△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?瞬时速度 在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。思考：⑴如何求瞬时速度？⑵lim是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?１、函数的平均变化率怎么表示？思考：定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.求函数在某处的导数636例2:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.例2、将原油提炼为汽油，柴油，塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：OC）为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)。计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明他们的意义。在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3℃/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5℃/h的速率上升.练习:例2、将原油提炼为汽油，柴油，塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：OC）为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)。计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明他们的意义。在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3℃/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5℃/h的速率上升.小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δf=Δy=f(x2)-f(x1)＝f（x1＋Δx）－f(x1);(2)计算平均变化率3.函数的平均变化率的几何意义：表示函数图象上两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))连线（割线）的斜率。4.函数在x=x0的瞬时变化率
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