ab′bO定义:注意：异面直线所成角的范围是直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b.我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.（0，]a′★求角的步骤：1.确定角2.求角求异面直线所成角的步骤有哪些？例1：已知M，N分别是正方体ABCD—A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，求（1）MN和AD所成的角；（2）MN和CD′所成的角。ABCDA’B’C’D’MN例2:如图，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB,PC=AB=2,E,F分别为PA和BC的中点，求EF与PC所成的角。ABCFEPG·方法归纳：(1)作两异面直线所成的角时，通常利用“中点”这一条件;(2)求角的时候，一般是采用解三角形的方法.例3:长方体ABＣＤ－Ａ’B’C’D中，AB=BC=4，AA’=6，E、F分别为BB’、CC’的中点，求AE、BF所成角的余弦值.C’ABCDEFA’B’D’例4：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值.取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：为什么？由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为连A1M，在A1O1M中解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系.在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体B1F，正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O，则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO练习1:900在正四面体S-ABC中，SA⊥BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900练习2:BSABEFCDG练习2（解法二）三、解答
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已知正方体的棱长为a,M为AB的中点,N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值.解：A1D1C1B1ABCDMNEG如图，取AB的中点E,连BE,有BE∥A1M取CC1的中点G，连BG.有BG∥C1N则∠EBG即为所求角.由余弦定理，F取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF则∠FNC为所求角.想一想：还有其他定角的方法吗？在△EBG中定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想.2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的范围：（1）当cosθ＞0时，所成角为θ（2）当cosθ＜0时，所成角为π－θ（3）当cosθ=0时，所成角为3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有关知识解决.90o（2）补形法化归的一般步骤是：定角求角说明：异面直线所成角的范围是（0，]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角时，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意.
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