一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点匚与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|FF2|）的点的轨迹（|IpfI-Ipf11=2a
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示焦点F2所对应的一支；当|MF|—|MF|=—2a时，曲线仅表示焦点F所对应的一支；121当2a=|F1F21时，轨迹是一直线上以F「F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当2a>|F]F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线（准线一）的距离之比是常数e（e>1）时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直l叫做双曲线的准线。\r1¥L1L10二、双曲线的
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方程（b2=c2-a2，其中|FF|=2c）12x2y2焦点在x轴上：——一=1（a>0，b>0）a2b2y2x2-焦点在y轴上：——一=1（a>0，b>0）a2b2（1）如果x2项的系数是正数，则焦点在轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在轴上。a不一定大于b。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上x2y2x2y2与双曲线一1共焦点的双曲线系方程是-二1a2b2a2+kb2一kx2y2双曲线方程也可设为：—一—=1(mn>0)mn三、双曲线的性质双曲线标准方程(焦点在x轴)X2y2=1(a>0,b>0)a2b2标准方程(焦点在y轴)y2X2=1(a>0,b>0)a2b2定义第一定义：平面内与两个定点F，F的距离的差的绝对值是常数(小于|FF)的121121点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。{m||mf|—\MF|=2a〉6a<\fF|)1212py厂xFF12y广/XP<、F1第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当e>1时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e(e>1)叫做双曲线的离心率。i\PxFF12丫F:X、F1范围x>a，yeR|y|>a，xeR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点o(0,0)焦点坐标F(—c,0)F(c,0)12F(0,—c)F(0,c)12焦点在实轴上，c=Ja2+b2；焦距：FF=2c12顶点坐标(—a,0)(a,o)(0,-a,)(0,a)离心率e二-（e>1），c2=a2+b2，e越大则双曲线开口的开阔度越大a准线方程x=±心cy-±ac准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a2c顶点到准线的距离顶点A（A）到准线l（l）的距离为a吐1212ac顶点A（A）到准线l（l）的距离为竺+a1221+ac焦点到准线的距离焦点F（F）到准线l（l）的距离为c竺_如1212c—-cc焦点F（F）到准线l（l）的距离为或+c1221+cc渐近线方程y-±bx（虚），［-c，纠fc上］a实va丿和Ia丿x-±by(虚)a实将右边的常数设为0,即可用解二兀二次的方法求出渐近线的解共渐近线的双曲线系方程x2-y2-k(k丰0)a2b2y2-x2-k(k丰0)a2b2直线和双曲线的位置双曲线—了-1与直线y-kx+b的位置关系：a2b2x2y2—1利用］a2b2转化为一元二次方程用判别式确定。［y-kx+b二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长AB|-J1+k2Jq+xj2-4兀］x22b2通径：AB-1y—y-——与椭圆一样21a过双曲线上一点的切线苦—詈-1或利用导数-—~^-1或利用导数a2b2(x=a-sec0椭圆为(x=a-cos0四、双曲线的参数方程：五、弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A(xi，yi)B(x2，y2)两点，则AB=JG+k2)(x-x匕+x)2-4xx1+丄'k2丿（丁y2k为直线斜率二JFIPs»匕-4y1y2［提醒］解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。2b22、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长IAB1=—a3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解六、焦半径公式x2y2双曲线一—一=1(a>0,b>0)上有一动点M(x,y)a2b200左焦半径：r=|ex+a|右焦半径：r=|ex-a|当M(x,y)在左支上时IMF1=-ex-a,IMF\=-ex+a001020当M(x,y)在右支上时IMFI=ex+a,IMFI=ex-a001020左支上绝对值加-号，右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算而双曲线不带符号)构成满足注：焦半径公式是关于x的一次函数，具有单调性，当M(x,y)在左支端点时IMF1=c-a,0001IMFI=c+a，当M(x,y)在左支端点时IMFI=c+a，IMFI=c-a20012七、等轴双曲线x2y2—=1(a>0，b>0)当a=b时称双曲线为等轴双曲线a2b21。a=b；2。离心率e=42；3。两渐近线互相垂直，分别为丫=+x；4。等轴双曲线的方程x2—y2二九,九鼻0；八、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线x2y2x2y2点P(x,y)在双曲线——一=l(a>0,b>0)的内部o——°>1代值验证，如^2—y2=100a2b2a2b2x2y2x2y2点P(x,y)在双曲线一—厂=1(a>0,b>0)的外部o——°<100a2b2a2b2x2y2x2y2点P(x,y)在双曲线一—厂=1(a>0,b>0)上-亠=100a2b2a2b22、直线与双曲线代数法：x2y2设直线l:y=kx+m，双曲线一一厂=1(a>0,b>0)联立解得a2b2(b2—a2k2)x2—2a2mkx—a2m2—a2b2=0bbm二0时，—一，k或k不存在时，直线与双曲线没有交点；aam丰0时，bk存在时，若b2—a2k2=0，k=±—,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；相a交若b2一a2k2丰0，&二(—2a2mk)2—4(b2—a2k2)(—a2m2—a2b2)二4a2b2(m2+b2—a2k2)A>0时，m2+b2—a2k2>0，直线与双曲线相交于两点；A<0时，m2+b2—a2k2<0，直线与双曲线相离，没有交点；m2+—2A=°时m2+b2—a2k2=°，k2=直线与双曲线有一个交点；相切a2k不存在，—aa或m<—a直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程y-=l(a>0,b>°)=渐近线方程：—~~~=0Oy=±—xTOC\o"1-5"\h\za2b2a2b2a2、若双曲线方程一||(a>0,b>0)n渐近线方程：—=°y=±^~x3、若渐近线方程为y=±—xO±1~=°n双曲线可设—~~~=,九鼻°。aa—a2—24、若双曲线与乂-弓=1有公共渐近线，则双曲线的方程可设券-鼻=九(九〉°，焦点在x轴上,a2—2a2—2九<°，焦点在y轴上)十一、双曲线与切线方程x2y2xxyy1、双曲—一—=1(a>°,—>°)上一点P(x,y)处的切线方程是J-上=1。TOC\o"1-5"\h\za2—2°°a2—22、过双曲一—二=1(a>°,—>°)外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是——上=1oa2—2°°a2—2x2y23、双曲线一一厂=1(a>°,b>°)与直线Ax+By+C=°相切的条件是A2a2—B2—2=c2。a2—2椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为时得到不同的曲线。椭圆参照选修2-1P41，双曲线参照选修2-1P55。1、A、B两点在X轴上时2、A、B两点在Y轴上时十三、面积公式构成的三角形称之为双曲线焦点三角形,双曲线上一点P与双曲线的两个焦点c7aS=b2cot—APF1F22面积公式推导：解：在APFF中，设ZFPF=a,1212PF=r1，呵=r,2由余弦定理得12・•rrcosa=rr一2b212即rr12_2b2=，1一cosa・•・S'=1rrsina=1xAPF1F221221一cosa2b2sinaxsina=b2-1一cosa椭圆上一点与椭圆的两个焦点F,F构成的三角形PFF称之为椭圆焦点三角12a形.S=b2tanAPF1F22面积公式推导解：在APFF中，设ZFPF=a，1212PFiPF2=r，由余弦定理得2・rrcosa=2b2一rr1212即rr=122b21+cosa・・・S=1rrSina=1x±_咛221221+cosa.,sina,axsma=b2=b2tan.1+cosa2十四、（双曲线中点弦的斜率公式）:设M（x,y）为双曲线一00x2-兰=i弦aba2b2（AB不平行y轴）的中点，则有k-kABOMb2a2证明：设A（xi,人），B(x,y)，则有k22ABy_y12x-x12xj—二ia2b2两式相减得：兰-里=1、a2b2x2-x2y2-y2—12—1亠=a212b20整理得：y2-y2b2即(y+y)(y-y)1缶=—，即J—1212=x2—x2a2(x+x)(x—x)12b2—，因为M(x,y)是弦ABa2001212的中点，所以kOM椭圆中线弦斜率公式kAB-2yy+y9-12xx+x01b2k=-OMa22，所以k-kABOMb2a2双曲线基础题1.双曲线2x2—y2=8的实轴长是（）A.2B.2返C.4D.4迈2.设集合P=x,yX2——y2=14>,Q={(x,y)|x—2y+1=0}，记A=PnQ,则集合A中元素的个数是（）A.3B.1C.2D.4X2y2双曲线16—6=1的焦点到渐近线的距离为（）2B.3C.4D.5y2X2双曲线-7—9=1的共轭双曲线的离心率是.能力提升中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,—2），则它的离心率为（）X2y2设双曲^a—9=1（a>0）的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为（）a29A.4B.3C.2D.1X2y2从m—n=1（其中皿，nw{—1,2,3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）y2X2双曲线7—T=1的渐近线与圆（x—3）2+y2=r2（r〉0）相切，贝r=（）633C.4D.6图K51—1如图K51—1，在等腰梯形ABCD中，AB〃CD且AB=2AD，设ZDAB=0，寺）以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e,则e•e=1212X2y2已知双曲线恳一仁=1（&〉0,b>0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的TOC\o"1-5"\h\z右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是.X2y2厂已知双曲线£—百=1@〉0,b>0）的一条渐近线方程为y=\：3x，它的一个焦点为F（6,0）,则双曲线的方程为.（13分）双曲线C与椭圆f7+H=1有相同焦点，且经过点（作，4）.（1）求双曲线C的方程；（2）若卩，F是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且ZFPF=120°，求AFPF的面积.121212难点突破X2y2X2y2（1）（6分）已知双曲线二一仃=1和椭圆和+仃=1@〉0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a,a2b2m2b2b,m为边长的三角形是（）锐角三角形直角三角形钝角三角形锐角三角形或钝角三角形(2)(6分)已知F、F为双曲线C：X2—y2=1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且ZFPF=60°,1212则|PFJ・|PF2=()A.2B.4C.6D.8双曲线综合训练一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）动点P到点M（1,0）及点N（3,0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.—条射线设双曲线的半焦距为c,两条准线间的距离为d，且c=d，那么双曲线的离心率e等于（）A.2B.3C.£2D.打_亠兀过双曲线的一个焦点F作垂直于实轴的弦PQ,F是另一焦点，若ZPF1Q=三，则双曲线的离心2112率e等于（）A.叮2—1B.*2C.I：2+1D.丫2+24.双曲线mx2+y2二1的虚轴长是实轴长的2倍，则m二（）11A.—-4B.—4C.4D.-4x2y25-双曲线ar—br=1（a，b>0）的左、右焦点分别为Fi，f2,点p为该双曲线在第一象限的点，厲吃面积为1,且tanZPFF=],tanZPFF=—2,则该双曲线的方程为（）12221A.12x2—3y2B.皂—3y2=112C.D.x25y212x2y2若F「F2为双曲线a-—厉=1的左、右焦点，0为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足FO=PM,OP=X（-）（九>0），则该双曲线的离心率为（OMA.C.2D.3如果方程竺+21=1表示曲线，则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是—pqA.+^―=12q*pqB.+==—12q+ppC.D.二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）双曲线的渐近线方程为x土2y=0，焦距为10,这双曲线的方程为x29•若曲线4Zk+=1表示双曲线，则k的取值范围是x2y2寸3若双曲线〒-二=1的渐近线方程为y二x,贝y双曲线的焦点坐标是4m2三、解答题：(本大题共2小题，满分3o分)(本小题满分10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F(0,—5),F(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线12与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。(本小题满分20分)已知三点P(5,2)、F(—6,0)、F(6,0)。12求以F、F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；12设点P、F、F关于直线y=x的对称点分别为P‘、F'、F'，求以F'、F'为焦点且过点P'的121212双曲线的标准方程.【基础热身】x2y2C［解析］双曲线方程可化为4—§=1，所以a2=4,得a=2,所以2a=4.故实轴长为4.x21B［解析］由于直线x—2y+1=0与双曲线才一y2=1的渐近线y=尹平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A中只有一个元素.故选B.x2y2B［解析］双曲线花一9=1的一个焦点是(5,0)，—条渐近线是3x—4y=0,由点到直线的距离公式可得d=|3X5—0|5=3.故选B.TOC\o"1-5"\h\zy2X2X2y2厂［解析］双曲线”一6=1的共轭双曲线是§—〒=1，所以a=3,b=\：7,所以c=4,所以离心率=3.【能力提升】x2y2bD［解析］设双曲线的标准方程为孑—仁=1(&〉0，b>0),所以其渐近线方程为y=±：x,因为点b1C2——a215\l5(4,—2)在渐近线上，所以=2-根据C2=a2+b2，可得a2=4,解得e2=4，所以e=》，故选D.x2y23C［解析］根据双曲线-—9=1的渐近线方程得：y=±；x，即ay±3x=0.又已知双曲线的渐a29a近线方程为3x±2y=0且a>0,所以有a=2，故选C.B［解析］若方程表示圆锥曲线，则数组(m,n)只有7种：(2,—1),(3,—1),(一1,一1),4(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以概率为P=y.故选B.8.A［解析］双曲线的渐近线为y=±x/2x,圆心为(3,0),所以半径1=|土迪”一0|=晶故选A.1［解析］作DM丄AB于M,连接BD,设AB=2,则DM=sin。，在RtABMD中，由勾股定理得BD="j5—4cos。，所以2CD2—2cos9=|AC+AD|寸5—4cos9+1e2e1=||BD|—|AD||=；5—4cos0—1，10.［2,+◎［解析］依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是［60°,90°),所以-三tan60。a所以e1・e2=1.卡，即b2±3a2,C2±4a2，所以e三2.一27=1［解析］-=冷3,即b=\；3a,而c=6，所以b2=3a2=3(36—b2)，得b2=27,a2=9，所以双曲线的方程为x—7=1.12.［解答］(1)椭圆的焦点为F(0,—3),F(0,3).12设双曲线的方程为-一右=1，则a2+b2=32=9.①a2b2又双曲线经过点4),所以¥—15=1,②解①②得a2=4,b2=5或a2=36,b2=—27(舍去)，所以所求双曲线C的方程为寸一彳=1・22⑵由双曲线C的方程，知a=2,b=\_：5,c=3.设|PF|=m,|PF|=n,贝y|m—n|=2a=4,平方得m2—2mn+n2=16.①在厶FPF中，由余弦定理得(2c)2=m2+n2—2mncos120°=m2+n2+mn=36.②1220由①②得mn=E，m,所以△FPF的面积为S=2mnsin120°=533.12【难点突破】13.(1)B(2)B［解析］⑴依题意有氾土足・鯉==1,化简整理得a2+b2=m2,故选B.⑵在AFPF中,1,2,由余弦定理得，|PF|2+|PF|2—|FF2|2|PF|—|PF|2—|FF|2+2|PF|•|PF|=1”2|PF|・[PF|1”12cos60°14a2—4c21汁2|PF|・|PF||,2—4b27+1-2=2|PFJ・|PF」+1=2|PFJ・|PF」因为b=1，所以1PF1|MT故选B1.一、选择题1.DPM-PN=2,而MN=2,P在线段MN的延长线上C=c,c2=2a2,e2=—=2,e=ca2CAPFF是等腰直角三角形，PF=FF=2c,PF=远122121PF—PF=2a,2P2c—2c=2a,e=—==嘗2+112aa.'2—1A.y1y5.A【思路分析】设p（x,y），则一—=牙,一—=2,cy=1，00x+c2x一c0c=00,y0命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算6.C【思路分析】由FO=PM知四边形F]OMP是平行四边形,又OP=九（OF+7°^）知OP平分ZFOM，即FOMP是菱形，设OF1=c，则PF=c.OMc丄又|pf|—|pfI=2a，A|PF|=2a+c，由双曲线的第二定义知：e=ac=-+1，且e〉1，.・.212cee=2，故选C.【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性.7.D.由题意知，pq〉0.若p〉0,q〉0，则双曲线的焦点在y轴上，而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在x轴上，而选择支B,D不表示椭圆；若p<0,q<0，选择支A，C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方c2=—p—q，双曲线的焦点在x轴上,选择支D的方程符合题意.二、填空题x2y28.20——^=±1设双曲线的方程为x2—4y2=九,（九H0），焦距2c=10,c2=25当入〉0时，三-辛=1八扌=25,“20；4当九v0时，丄=1,—九+(—)=25,九=_20~4(―卩一4)U(1,+^)(4+k)(1—k)<0,(k+4)(k—1)>0,k>1,或kv—4.(±w7,0)渐近线方程为y=-~2~x，得m=3,c=i：7，且焦点在x轴上.三、解答题TOC\o"1-5"\h\zy2x2解：由共同的焦点F(0,—5),F(0,5)，可设椭圆方程为2_+=1；12a2a2—25y2x2169双曲线方程为石+齐=1，点P(3,4)在椭圆上，药+a^=1,a2=40双曲线的过点P(3,4)的渐近线为y=b一X<25—b2即4二x3,b2J25—b216y2x2所以椭圆方程为40+15=1；y2x2双曲线方程为布+w=1169x2y2⑵(1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为一+»=1(a>b>0)，其半焦距c=6。a2b22a=1PFI+IPF丨=<112+22+“2+22=6抒，:.a=3、污，12x2y2b2=a2—c2=45-36=9，故所求椭圆的标准方程为—-=1;459(2)点P(5,2)、件(一6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为：P'(2,5)、F'(0,-6)、F'(0,6)12x2y2设所求双曲线的标准方程为——-二=1(a>0,b>0)，由题意知半焦距c=6,a2b2111112a=IP'F'I—IP'F'I=J112+22-J12+22=,.・.a=2运,y2x2故所求双曲线的标准方程为函-詰=1112'1b2=c2—a2=36—20=16111
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