二次函数与命题高中数学竞赛标准教材

第二章二次函数与命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ( 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 竞赛标准教材)第二章二次函数与命题一、基础知识．二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f=a2+f，其中x0=-，下同。．二次函数的性质：当a>0时，f的图象开口向上，在区间，在[x0,-∞）上随自变量增大函数值增大。当a0时，方程f=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2，不等式②和不等式③的解集分别是{x|xx2}和{x|x10，当x=x0时，f取最小值f=,若an时，f在[,n]上的最小值为f。定义1能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注1“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。二、方法与例题．待定系数法。例1设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f=β,f=α,f=1的二次函数f.【解】设f=ax2+bx+c,则由已知f=β,f=α相减并整理得[a+b+1]=0，因为方程x2-x+1=0中△0，所以αβ，所以a+b+1=0.又α+β=1,所以a+b+1=0.又因为f=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-，所以f=ax2-x+2.再由f=β得aα2-α+2=β,所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.即a+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f=x2-2x+2.．方程的思想。例2已知f=ax2-c满足-4≤f≤-1,-1≤f≤5，求f的取值范围。【解】因为-4≤f=a-c≤-1,所以1≤-f=c-a≤4.又-1≤f=4a-c≤5,f=f-f,所以×+≤f≤×5+×4,所以-1≤f≤20.．利用二次函数的性质。例3已知二次函数f=ax2+bx+c，若方程f=x无实根，求证：方程f)=x也无实根。【证明】若a>0，因为f=x无实根，所以二次函数g=f-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f-x>0即f>x，从而f)>f。所以f)>x，所以方程f)=x无实根。注：请读者思考例3的逆命题是否正确。．利用二次函数表达式解题。例4设二次函数f=ax2+bx+c，方程f=x的两根x1,x2满足00，所以f>x.其次f-x1=[a+1]=a[x-x2+]1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。【证明】方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.构造f=2a2x2+2ax+1-a2,f=2>0,f=2>0,f=1-a20，所以f在区间和上各有一根。即方程的正根比1小，负根比-1大。．定义在区间上的二次函数的最值。例6当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。【解】y=1-,令u,则0-，即b>-2时，x2+bx在[0，-]上是减函数，所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.综上，b=-.一元二次不等式问题的解法。例8已知不等式组①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。【解】因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a,x2=1-a,若a≤0，则x11-2a.因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。若a>0，ⅰ）当0时，a>1-a，由②得x>1-2a，所以不等式组的解集为1-a1且a-≤3，所以10，△=22-4Ac2≤0恒成立，所以2-4Ac≤0，即A2+B2+c2≤2同理有B≥0，c≥0，所以必要性成立。再证充分性，若A≥0，B≥0，c≥0且A2+B2+c2≤2，）若A=0，则由B2+c2≤2Bc得2≤0，所以B=c，所以△=0，所以②成立，①成立。）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。综上，充分性得证。．常用结论。定理1若a,b∈R,|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.【证明】因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-≤a+b≤|a|+|b|,所以|a+b|≤|a|+|b|.又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。定理2若a,b∈R,则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥注定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。三、基础训练题．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_________.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6,q:③p:a∈,q:{a}{a,b};④p:QR,q:N=Z.当|x-2|0的解是10}，则集合{x|x∈A且xA∩B}=_________.1.求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。．对任意x∈[0,1],有①②成立，求的取值范围。四、高考水平训练题．若不等式|x-a|0当|a|≤1时恒成立的x的取值范围是_________.．若不等式-x2+x-410},B={x||x-5|0和a2x2+b2x+c2>0解集分别为和N，那么“”是“=N”的_________条件。．若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_________.．已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的_________条件。．已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-2≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.．已知a>0，f=ax2+bx+c，对任意x∈R有f=f，若f0且|x|≤1时，g最大值为2，求f.1.设实数a,b,c,满足条件：=0，且a≥0,>0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0满足00，当函数的最小值取最大值时，a+b2+c3=_________.已知f=|1-2x|,x∈[0,1]，方程f))=x有_________个实根。．若关于x的方程4x2-4x+=0在[-1，1]上至少有一个实根，则取值范围是_________.．若f=x4+px3+qx2+x对一切x∈R都有f≥x且f=1，则p+q2=_________.对一切x∈R，f=ax2+bx+c的值恒为非负实数，则的最小值为_________.．函数f=ax2+bx+c的图象如图，且=b-2ac.那么b2-4ac_________4.．若a100，试问满足|f|≤50的整数x最多有几个？．设函数f=ax2+8x+3，对于给定的负数a，有一个最大的正数l，使得在整个区间[0，l]上，不等式|f|≤5都成立。求l的最大值及相应a的值。．设x1,x2,…,xn∈[a,a+1]，且设x=,y=,求f=y-x2的最大值。．F=ax2+bx+c，a,b,c∈R,且|F|≤1,|F|≤1,|F|≤1,则对于|x|≤1，求|F|的最大值。．已知f=x2+ax+b，若存在实数，使得|f|≤,|f|≤,求△=a2-4b的最大值和最小值。．设二次函数f=ax2+bx+c满足下列条件：）当x∈R时，f=f，且f≥x；）当x∈时，f≤;）f在R上最小值为0。求最大的，使得存在t∈R，只要x∈[1,]就有f≤x.求证：方程3ax2+2bx-=0在内至少有一个实根。．设a,b,A,B∈R+,a