2005-12 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62701055 考研数学三十六技 150 分杀伤力
考研数学三十六技 150 分杀伤力
线性代数篇
清华大学 数学科学系 俞正光主讲
＊向量组的线性相关与线性无关
例 1 已知向量组 432 1 ,, , αααα 线性相关，且 4α 不能被 321 , , ααα 线性表出，则以下结论正确的是（ ）．
（A） , , 32 1 ααα 必线性无关 （B） , , 32 1 ααα 必线性相关
（C） , , 42 1 ααα 必线性无关 （D） 42 1 , , ααα 必线性相关
解：B
z 设 ,A B为 阶方阵，满足 ，有什么性质？ n 0AB =
(1) (2)( ) ( ) ;r A r B n+ ≤ B的列向量为齐次线性方程组 0Ax = 的解；(3)若 A可逆，则有 ； 0B =
当 A不是方阵时，条件改为当 A列满秩时，则有 0B = ；(4)若 A为非零矩阵，则 B不可逆．
例 2 设 维向量n 121 ,,, −nααα " 线性无关，且与非零向量 21,ββ 都正交，证明：
（1） 21,ββ 线性相关；（2） 1121 ,,,, βααα −n" 线性无关．
证：（1）令 1 2 1( , , , )nA α α α −= " ，则 1 0TA β = ，且 2 0TA β = ， 1 2,β β 是 的两个非零解，又已
知 ， 的解空间是一维的，所以
0TA x =
( ) ( )Tr A r A n= = −1 0TA x = 1 2,β β 线性相关.
（2）设 1 1 2 2 1 1 1 0n n nk k k kα α α β− −+ + + + =" ，等式两端对 1β 作内积,有 1 1( , ) 0nk β β = ,
又 1 0β ≠ ,所以 ，再由0nk = 1 2, , , n 1α α α −" 线性无关，推出 1 2 1 0nk k k −= = = ="
例 3 设 维向量的向量组（I）n sααα ,,, 21 " ，（II） tβββ ,,, 21 " ，已知（I）可被（II）线性表示，且
r(I)=r(II)，证明向量组（I）与（II）等价．
证：设 (I)= r (II)= ， r r
(I)的一个极大线性无关组是 1 2, , ,i i irα α " α ;(II)的一个极大线性无关组是 1 2, , ,j j jrβ β " β
r
考虑向量
组 ;(III) 1 2, , ,i i iα α α" ， 1 2, , ,j j jrβ β β" 由 1 2, , ,i i irα α " α 可 被 1 2, , ,j j jrβ β " β 线 性 表 出 ，
1 2, , ,j j jrβ β " β
r
为(III)的一个极大线性无关组
故 (III)= ，又r r 1 2, , ,i i iα α " α
r
线性无关，也为(III)的一个极大线性无关组
故 1 2, , ,i i iα α α" 与 1 2, , ,j j jrβ β " β 等价，于是(I)与(II)等价.
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