《菱形的性质与判定》第1课时示范课教案【北师大版九年级数学上册】

第一章特殊的平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时一、教学目标1．理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.2．经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.3．能够用综合法证明菱形的性质定理，进一步发展演绎推理能力.4．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.二、教学重点及难点重点：菱形性质的探索与证明．难点：引导学生探究菱形的性质，并利用菱形的性质解决实际问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板.四、相关资源《平行四边形性质》动画，《生活中的菱形》动画，《生活中的菱形》图片，《折纸》动画，《菱形对称性》动画，《（1）证明》动画，《（2）证明》动画，《四边形到平行四边形再到菱形的变化》动画.五、教学过程【复习引入】我们学习了平行四边形，那么什么样的四边形是平行四边形呢？它有哪些性质呢？师生活动：教师出示问题，学生回答．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．教师引导学生从以下几个方面思考、总结平行四边形的性质：从对称性看：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；从边看：对边平行且相等；从角看：对角相等，相邻的两个角互补；从对角线看：对角线互相平分． 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 意图：本环节旨在通过提问，复习并梳理平行四边形的性质，为菱形性质的学习做铺垫．【探究新知】下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？师生活动：教师出示图片，引导学生观察、归纳、总结出菱形的定义．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．师：你能举出一些生活中菱形的例子吗？设计意图：此环节使用了教科 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 的引入，先让学生观察，然后通过测量比较，发现邻边相等的特征，从而引出菱形的定义．想一想菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？与同伴交流.设计意图：从菱形与平行四边形的关系入手，思考菱形的性质.菱形是特殊的平行四边形，因此具有一般平行四边形的所有性质.通过对平行四边形性质的回顾，结合菱形的形状特征，让学生感悟到菱形的一些特殊性质，为下面的探索、证明菱形的特殊性质做铺垫.做一做用菱形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？（2）菱形中有哪些相等的线段？师生活动：教师出示问题，引导学生完成“做一做”．通过对折，我们发现菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴，对称轴之间互相垂直．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．通过对折，可以发现以下结论：从边看：四边相等，即AB=BC=CD=DA；从角看：对角线平分每对内角，即∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA；从对角线看：对角线互相垂直，即AC⊥BD；从三角形形状看：等腰三角形有△ABC，△ADC，△BAD，△BCD；直角三角形有△OAB，△OCB，△OCD，△OAD．设计意图：平行四边形的许多性质都与它的中心对称性有关，而菱形不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形．因此，菱形的特殊性质与它的轴对称性有关．通过折纸活动，可以让学生发现邻边的关系、对角线的关系，甚至对角线与内角的关系，从而加深学生对菱形特性的认识．教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明．已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O．求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD．师生共同分析：①菱形不仅对边相等，而且邻边也相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等了．②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD的中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了．学生活动：写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，掌握相关定理．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）．又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD．（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形．又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）．在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴AO⊥BD，即AC⊥BD．教师活动：展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象．板书：定理菱形的四条边相等定理菱形的对角线互相垂直设计意图：学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生活动的过程中，应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引导，尽量减少学生推理论证过程中的困难．学生经过了折纸这一操作活动后，再经过逻辑证明，把操作层面的感知上升到了理性认识，充分了解了菱形的本质特征．本环节让学生进行猜想、探究和证明，符合学生的认知规律．同时，操作活动得到的结论与逻辑推理相结合，是对数学知识进行探索活动的自然延续，实现了从感性认识到理性认识的升华．【典例精析】例如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．师生共同分析：①因为菱形的邻边相等，且一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD；又因为BD=6，所以菱形的边长也是6．②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；由菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，这样根据勾股定理就可以求出OA的长度；最后根据菱形的对角线互相平分，即AC=2OA，求出AC的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD（菱形的四条边都相等），AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），OB=OD=BD=×6=3（菱形的对角线互相平分）．在等腰三角形ABD中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形．∴AB=BD=6．在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2．∴．∴AC=2OA=（菱形的对角线互相平分）．设计意图：通过认识概念、探究性质、证明结论、应用结论这几个环节，让学生掌握菱形的概念及其性质．注意引导学生将推理的过程写清楚，不能只关注计算结果.【课堂练习】1．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度之比为3︰4，那么对角线的长分别为（）．A．3cm，8cmB．3cm，4cmC．12cm，16cmD．24cm，32cm参考答案C．2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）．A．50°B．60°C．70°D．80°参考答案B．解析：连接BF，因为EF垂直平分AB，所以AF=BF．易证△BCF≌△DCF．所以BF=DF．所以AF=BF=DF．因此∠ADF=∠FAD=40°．而∠ADC=180°－80°=100°，所以∠CDF=60°．3．如图，在菱形ABCD中，若∠B=60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE=AF，则∠AEC＋∠AFC的度数等于_________．参考答案180°．解析：连接AC．在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∠BAD=120°，∴．∴BC=AC．又∵BE=AF，∴△BCE≌△ACF．∴∠BEC=∠AFC．又∵∠BEC＋∠AEC=180°，∴∠AEC＋∠AFC=180°．4．如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是_________．参考答案5．解析：作M关于BD的对称点，设其为Q，连接NQ，交BD于点P，连接PM，此时PM＋PN的值最小．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长．师生活动：老师先找几名学生板演，然后分析，最后师生共同写出 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 的解题过程．分析：从题意可知AC与BD互相垂直，所以△AOB是直角三角形；又因为AB=5cm，AO=4cm，这样就可以运用勾股定理求出OB；又因为菱形的对角线互相平分，所以BD是OB的两倍，这样就可以很方便地求出BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=AB2．∴．∵四边形ABCD是菱形，∴BD=2OB=2×3=6（菱形的对角线互相平分）．所以，BD的长是6cm．设计意图：学生通过本环节的学习，进一步理解和掌握了菱形的性质，对前面所学知识进行了更加深入地认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培养了学生的主动探索能力，激发了学生的学习兴趣．六、课堂小结本节课我们探讨了菱形的定义和性质，下面我们来共同总结一下：1．菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.2．菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分．3．菱形具有平行四边形的所有性质，应用菱形的性质可以进行计算和推理．师生活动：教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获，学生尝试归纳、总结．设计意图：培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 能力、反思意识及总结能力．七、板书设计1.1菱形的性质与判定（1）1．菱形的概念2．菱形的性质定理菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直