等差数列前n项一、选择题a11．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于()d12A.B．2C.14D．4答案A11解析由题意得：10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，22∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴a11＝.d2222．已知等差数列{an}中，a3＋a8＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为()A．－9B．－11C．－13D．－15答案D22解析由a3＋a8＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3，n<0，∴a3＋a8＝－3，10(a1＋a10)∴S10＝210(a3＋a8)＝2＝10×(－3)2＝－15.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27答案B解析数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.4．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763D．663答案B解析因a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋14＝14×2＋1×14×13×7＝665.25．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋⋯＋a2n－1＝90，a2＋a4＋⋯＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是()A．3B．－3C．－2D．－1答案B解析由n(n－1)aaana132n11＋＋⋯＋＝＋－2n(n－1)a2＋a4＋⋯＋a2n＝na2＋2×(2d)90＝，×(2d)＝72，得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.二、填空题6．设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋⋯＋a97＝50，那么a3＋a6＋⋯＋a99＝________.答案－82解析∵a3＋a6＋⋯＋a99，a1＋a4＋⋯＋a97分别是33项之和，∴(a3＋a6＋⋯＋a99)－(a1＋a4＋⋯＋a97)＝(a3－a1)＋(a6－a4)＋⋯＋(a99－a97)＝2d＋2d＋⋯＋2d＝33×2d＝33×(－4)＝－132，∴a3＋a6＋⋯＋a99＝－132＋50＝－82.7．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．答案10专心爱心专心-1-解析S(n＋1)(a1＋a2n＋1)＋1)奇＝2＝165，Sn(a2＋a2n)偶＝2＝150∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴n＋1＝n165150＝1110，∴n＝10.8．已知两个等差数列{an}、{bn}，它们的前n项和分别是Sn、S′n，若Sn＝S′n2n＋3a9，则3n－1b9＝______.答案3750解析
方法
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一n(a1＋an)Sn2＝S′nn(b1＋bn)2＝a1＋an＝b1＋bn2n＋33n－1，a92a9∴＝＝b92b9a1＋a172×17＋337＝＝.b1＋b173×17－150方法二由Sn2n＋3＝，可知公差d≠0，设Sm＝km(2m＋3)，S′n3n－1S′m＝km(3m－1)(k∈R，且k≠0)，amSm－Sm－1则＝＝bmS′m－S′m－1三、解答题4m＋16m－4(m≥2)，∴a9＝b94×9＋137＝.6×9－4509．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且知足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝Sn，求非零常数c.n＋c解(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．又公差d>0，∴a3
na1>nanB．Sn>nan>na1C．na1>Sn>nanD．nan>Sn>na1答案C解析由an＝S1(n＝1)Sn－Sn－1(n≥2)，解得an＝5－4n.∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，∴nan＝5n－4n2，∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.Sn－nan＝3n－2n1>Sn>nan.2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.∴na5．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的选项是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为Sn的最大值答案C解析由S50.又S6＝S7?a7＝0.由S7>S8?a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.二、填空题6．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝nn＝________.2－n(n∈N*)，则通项a答案2n－27．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．专心爱心专心-3-答案5或6解析d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，∴a6＝0，∴a1>a2>⋯>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>⋯.∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．8．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.答案10解析由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.n(a1＋an)由Sn＝231n2＝＝155，得n＝10.三、解答题9．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(1)设f(x)的图象的极点的纵坐标组成数列{an}，求证：{an}为等差数列；(2)设f(x)的图象的极点到x轴的距离组成{bn}，求{bn}的前n项和．(1)证明f(x)＝[x－(n＋1)]n＝3n－8，∵an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．2＋3n－8，∴a(2)解bn＝|3n－8|.当1≤n≤2时，bn＝8－3n，b1＝5.n(5＋8－3n)Sn＝2＝213n－3n.2当n≥3时，bn＝3n－8，(n－2)(1＋3n－8)Sn＝5＋2＋1＋4＋⋯＋(3n－8)＝7＋2＝3n2－13n＋282－13n＋28.2∴Sn＝213n－3n223n－13n＋28(1≤n≤2)，(n≥3).210．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明原因．12a1＋12×11d>0，22a1＋11d>0，解(1)根据题意，有：13a1＋13×12d<0，2整理得：a1＋6d<0，a1＋2d＝12.a1＋2d＝12，解之得：－247a2>a3>⋯>a12>a13>⋯，而S13＝13(a1＋a13)2＝13a7<0，∴a7<0.又S12＝12(a1＋a12)2＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，∴a6>0.∴数列{an}的前6项和S6最大．专心爱心专心-4-
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