3.1.3概率的基本性质【学习目标】1.理解事件的包含关系，会用韦恩图表示.2.理解事件的并、交运算，能就具体事件说明两事件的并、交事件是什么.3.理解互斥、对立事件的概念.4.掌握概率的性质及概率的加法公式.1.事件间的关系A⊆B(1)包含关系：若事件A发生，则事件B一定发生，称__________________(或事件A包含于事件B)，记作__________(或__________)，如图3-1-5.图3-1-5(2)相等关系：一般地，若A⊇B，且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.事件B包含事件AB⊇A2.事件间的运算或和A＋B(1)并事件：若某事件发生当且仅当事件A发生______事件B发生，则称此事件是事件A与事件B的并事件(或______事件)，记作__________(或__________)，如图3-1-6的阴影部分.图3-1-6图3-1-7(2)交事件：若某事件发生当且仅当事件A发生______事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或______事件)，记作________(或________)，如图3-1-7的阴影部分.A∪B且积ABA∩B练习1：某射手一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19，则这射手在一次射击中至多8环的概率是()DA.0.48C.0.71B.0.52D.0.293.互斥事件与对立事件(1)若A∩B为不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B________.互斥(2)若A∩B为不可能事件，且A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为________事件.对立4.概率的性质01(1)任何事件的概率P(A)满足：______≤P(A)≤______.(2)概率的加法公式：当事件A与事件B互斥时，有P(A∪B)＝________________________.P(A)＋P(B)(3)当事件A与事件B互为对立事件时，有P(A)＝____________.1－P(B))C其中错误的结论共有(A.3个C.1个B.2个D.0个【问题探究】口袋里装有1个白球和2个黑球，除颜色外这3个球完全相同，每次从中随机取出1个球，记下颜色，放回后，再取出1个球.记事件A为“两次取到的球的颜色都为白色”，事件B为“两次取到的球的颜色不相同”，事件C为“两次取到的球同为白色或1个白球和1个黑球”，那么P(C)，P(A)，P(B)有什么关系？答案：因为事件A发生与事件B发生是互相排斥的，事件C发生的频数等于事件A与事件B的频数之和，所以P(C)＝P(A)＋P(B)．题型1事件间的关系及运算【例1】从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两事件是()A.“至少有1个黑球”和“都是黑球”B.“至少有1个黑球”和“至少有1个红球”C.“恰有1个黑球”和“恰有2个红球”D.“至少有1个黑球”和“都是红球”思维突破：抓住互斥与对立两个概念的联系与区别，正确理解“至少”“恰有”“都是”的语意是关键.解析：C中两事不能同时发生，但可以同时不发生．答案：C判断事件间的关系问题时，要与集合的包含关系、运算关系进行类比，能直观地用Venn图表示，同时能将事件的实质信息等价成另一种表达形式进行理解.如“恰有1个黑球”，在本题条件下等价于“有1个黑球、1个红球”.【变式与拓展】1.给出事件A与事件B的关系示意图如图3-1-8，试用相应的图号填空.图3-1-8A⊆B的示意图是________；A∪B的示意图是________；A∩B的示意图是________；事件A与B互斥的示意图是________；事件A与B互为对立事件的示意图是________.答案：(3)(1)(4)(2)(1)(5)(5)2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件C.不可能事件B.互斥但不对立事件D.必然事件解析：因为只有1张红牌，所以“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，所以是互斥事件，但是这两个事件不是必有一个发生，故不是对立事件．故选B.B题型2概率加法公式的应用【例2】学校射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：求该选手射击一次，(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率.命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12思维突破：准确理解所求概率的事件是哪些互斥事件的并事件，或其对立事件是什么，结合概率加法公式进行求解.解：记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7,8,9,10)．(1)∵A9与A10互斥，∴P(A9＋A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)记“至少命中8环”为事件B.B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，∴P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立事件．∴P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.正确分析复杂事件为若干互斥事件的并事件，或是某一事件的对立事件，是计算事件概率的重要方法.注意“不足8环”与“命中7环”的含义不相同.【变式与拓展】3.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖，且不中一等奖的概率.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)(3)设“1张奖券不中特等奖，且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)【例3】判断下列命题的真假：(1)将1枚硬币抛掷2次，设事件A为“2次均为正面”，事件B为“2次均为反面”，则事件A与事件B互为对立事件；(2)在5件产品中有2件次品，从中任取2件，记事件A为“所取的2件产品中最多有1件是次品”，事件B为“所取的2件产品中至少有1件是次品”，则事件A与事件B互为互斥事件；(3)设A，B为两事件，则P(A＋B)≤P(A)＋P(B).解：(1)(2)为假命题，(3)为真命题．[方法·规律·小结]1.要判断两个事件是互斥事件还是对立事件，需找出两个事件包含的所有结果，分析它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下，看两事件是否非此即彼，一个不发生必有另一个发生，进而可判断是否为对立事件.注意：对立事件是互斥事件的特例.2.在利用概率加法公式求概率时，要正确审题，分析所考察事件可拆分为哪几个互斥事件的并，其实质是要合理地按一定
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对复杂事件进行分类.3.当一个复杂事件包含的情形较多时，可先计算其对立事件，再由公式P(A)＝1－P(B)计算.注意事件表达中含有“至少”等逻辑量词的事件.
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