西南大学线性代数作业答案

第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式中，项a13a24a32a45a51前的符号应取+号。2．排列45312的逆序数为5。3．行列式中元素x的代数余子式是　8　．4．行列式中元素-2的代数余子式是—11。5．行列式中，的代数余子式是—5。6．计算=0行列式部分计算题1．计算三阶行列式解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i和j，使排列1234i6j97为奇排列.解：i=8，j=5。3．(7分)已知，求的值．解：原式=3x2—x2—4x=2x2—4x=2x(x—2)=0解得：x1=0；x2=2因此x={x│x≠0；x≠2x∈R}4．(8分)齐次线性方程组有非零解，求。解：由D=0得λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：解：由于因此方程组有唯一解，再计算：因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组Ax=0的系数阵A的秩为r，当r=n时，则Ax=0只有零解；当Ax=0有无穷多解时，其基本解系具有解向量的个数为n-r.2．设η1，η2为方程组Ax=b的两个解，则η1－η2或η2－η1是其导出方程组的解。3．设α0是线性方程组Ax=b的一种固定解，设z是导出方程组的某个解，则线性方程组Ax=b的任意一种解β可表达为β=α0+z.4．若n元线性方程组Ax=b有解，R（A）=r，则当[r=n时，有惟一解；当,r＜n时，有无穷多解。5．A是m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R（A）＜n.6．n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充足必要条件是|A|不等于0。7线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(Ab)=r(A)。8．设是线性方程组Ax=b的一种特解，是其导出组的基本解系，则线性方程组Ax=b的所有解可以表达为=　1．求线性方程组的通解.答案：通解为：x=k12．求齐次线性方程组的一种基本解系.答案：基本解系为v1=3．求非齐次线性方程组的通解答案：同解方程组为，通解为4求方程组的通解答案：化为同解方程组通解为5．已知线性方程组（1）求增广矩阵（Ab）的秩r（Ab）与系数矩阵A的秩r（A）；（2）判断线性方程组解的状况，若有解，则求解。答案：（1）r（Ab）=r（A）=4（2）有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1第三次向量的线性关系填空题1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a=1,b=3.2．已知向量=（1，2，3），=（3，2，1），则3+2=（9，10，11），-=（-2，0，2）．3．设向量组线性无关，则向量组，+，++线性无关　．4．设向量线性无关，则线性无关。5．设向量线性无关，则向量线性有关．6.是3维向量组,则线性相关.7．零向量是线性有关的，非零向量α是线性无关的.线性关系部分证明题1　证明：如果向量组线性无关，则向量组亦线性无关．证明：设有一组数，使　　　　　　　　成立，整顿得　　　　　　由于线性无关，因此由于其系数行列式，因此方程组只有零解，即．向量组线性无关得证．2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr线性表达，但不能由α1，α2，…，αr-1线性表达，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr与向量组α1，α2，…，αr-1，β与否等价？为什么？答案：等价。由于β可由α1，α2，…，αr线性表达，因此有λ1，λ2，…，λr，使β=λ1α1+λ2α2+…+λrαr，λr≠0①又α1=α1，…，αr-1=αr-1，故向量组α1，α2，…，αr-1，β可由向量α1，α2，…，αr线性表达。由式①有即α1，α2，…，αr也可由向量组α1，α2，…，αr-1，β线性表达，故两向量组等价。3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基本解系，问α1+α2，2α1－α2与否也可构成该方程组的基本解系？答案：α1+α2，2α1－α2显然是方程组的解。因此如下只证α1+α2，2α1－α2线性无关。设有一组数λ1，λ2，使得λ1（α1+α2，）+λ2（2α1－α2）=0，即（λ1+2λ2）α1+（λ1－λ2）α2=0，因α1，α2线性无关，故而因此λ1=λ2=0，则α1+α2，2α1－α2线性无关，仍是基本解系。4．已知，鉴定此向量组是线性有关还是线性无关。答案：线性有关。5．设=（1，1，2）T，=（1，2，3）T，=（1，3，t）T请问当t为什么值时，，，线性有关？并将用，线性表达．答案：当t=4时，，，线性有关。＝－＋２．.6,设线性无关，而线性有关，则能由线性表达，且表达法惟一。答案：因线性有关，故有不全为零，使要证可由线性表达，只要证明，假设k=0，则不全为零，且有故线性有关，矛盾，因此。设有个表达式两式相减得因线性无关，因此，即因此表达法惟一。第四次特性值部分选择题1.Ａ是ｎ阶正交矩阵，则［A　］（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）2.A与B是两个相似的n阶矩阵,则[A](A)存在非奇异矩阵P,使(B)|A||B|(C)存在对角矩阵D,使A与B都相似于D(D)3下列结论中,错误的有(B)(A)若向量与正交,则对任意实数a,b,与也正交(B)若向量与向量都正交,则与的任一线性组合也正交(C)若向量与正交,则与中至少有一种是零向量(D)若向量与任意同维向量正交,则是零向量4设矩阵,则A的特性值为[C](A)1,0,1(B)1,1,2(C)-1,1,2(D)-1,1,15n阶矩阵A与对角矩阵相似的充足必要条件是[B](A)A有n个特性值(B)A有n个线性无关的特性向量(C)A的行列式不等于零(D)A的特性多项式没有重根《线性代数》1.下列n阶(n>2)行列式的值必为0的有：B:行列式非零元素的个数不不小于n个。2.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是:B:13有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-114.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：B:-15.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:56.行列式A的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A的值等于0，则k的取值应是：C:k=3或k=17.6.排列3721456的逆序数是：C:88..行列式A的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a的代数余子式是：B:-299已知四阶行列式D中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D的值等于.C:-1510.矩阵A适合下面哪个条件时，它的秩为r.B:A中线性无关的列向量最多有r个。11矩阵A的第一行元素是（1，0，5），第二行元素是（0，2，0），则矩阵A乘以A的转置是：C:第一行元素是（26，0），第二行元素是（0，4）。12.若矩阵A的行数不等于矩阵B的列数，则矩阵A乘以B没故意义。对的答案：错误13.齐次线性方程组AX=0是线性方程组AX=b的导出组，则C：u是AX=0的通解，X1是AX=b的特解时，X1+u是AX=b的通解。D：V1，V2是AX=b的解时，V1-V2是AX=0的解。14.n阶矩阵可逆的充要条件是：A：r(A)=nB：A的列秩为n。15.向量组a1,a2,...,as的秩不为零的充足必要条件是：A：a1,a2,…,as中至少有一种非零向量。D：a1,a2,…,as中有一种线性无关的部分组。16向量组a1,a2,...,as线性有关的充足必要条件是：C：a1,a2,…,as中至少有一种向量可由其他向量线性表达。D：a1,a2,…,as中至少有一部分组线性有关17.矩阵A为三阶矩阵，若已知|A|=m,则|-mA|的值为C:-m*m*m*m18.若矩阵A可逆，则它一定是非奇异的。对的答案：对的19.向量组a1,a2,...,as线性无关的必要条件是：A：a1,a2,…,as都不是零向量。C：a1,a2,…,as中任意两个向量都不成比例D：a1,a2,…,as中任一部分组线性无关20.若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A乘以B故意义对的答案：对的.《初等数论》>作业如果a|b，b|c，则（C：a|c）360与200的最大公约数是（D：40）。如果a|b，b|a，则（C：a=b或a=-b）。下面的数是3的倍数的数是（C：1119）4除-39的余数是（C：1）。设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（A：整除）mn。整数6的正约数的个数是（D：4）。1到20之间的素数是（B：2，3，5，7，11，13，17，19  ）