差分法（点差法）在圆锥曲线中的应用圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，用差分法求解，具有构思精巧，简便易行的优点，现举例说明如下：（一）在椭圆中的应用：设AX1，y1，Bx2,y2是椭圆2mxny21上不重合的两点，22mx1ny11则22，1，mx2ny21两式相减得mxqx2%x2ny1y2y1y0Hy1y2是直线AB的斜率，x1x2y1y2是线段AB的中点坐标,x1x222所以1式可以解决与椭圆弦AB的斜率及中点有关的问题，此法称为代点作差法，简称点差法。例1:求以椭圆16x225y2400内一点P3，1为中点的弦AB所在的直线方程。解：设弦AB勺两个端点的坐标分别为AX1,y1，BX2,y2:A、B两点在椭圆16x225y2400上,22TOC\o"1-5"\h\z则16x125y1400、16x2225y22400'两式相减得16x1x2x1x225y1y2y1y20由题知X1X26，y1y22，必一也48,X1X225Iab：—48x3,即48x25y1690.x1x225（二）在双曲线中的应用：在处理有关弦的问题时，也可以应用”点差法”但特别需要注意的是椭圆是封闭型曲线，而双曲线是开放型曲线，求解后应检查其存在性，否则容易产生增根。22例2:在双曲线気令1的一支上有不同的三点Ax1,y1，B,26,6，Cx2,y2与焦点F0,5的距离成等差数列.证明线段AC的垂直平分线经过某一点，并求出该点坐标分析：与椭圆的焦半径相同，双曲线一支上的三点与一个焦点形成的焦半径成等差数列的充要条件是这三个点的横坐标（或纵坐标）成涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来求解。解:依题意有又13y12AP。另外，题目中则kACy1y2212X1212y1yx1x2612，13,13y221212x1x2y1y213故AC的中垂线方程为yiy22xi13xX2132例3:给定双曲线2X21213,X11313X2x1x2由方程知其必经过定点x1x22c250,22J1.2的直线I与所给双曲线交于两点1过点A2,1的中点的轨迹方程2过点B1,1能否作出直线m,使m与所给双曲线于两点且B是线段Q1Q2的中点？并说明理由•Pi,求线段RP2解：1设Rx1,y1，P2x2,y2,中点Px,y2则X1h2y21,22两式相减得2x1x2x1x2y1yy1y2而x1x22x，yy22y，2xy1y2yX1X2*1P1,P2,P,A四点共线.y1yy2JVx2X1x2由此得轨迹方程2x几」,即222xy4xy0yx22假设直线m存在，Qx3,y3,Q2x4,y4,仿1得2X3X4X3X4y3y4y3浪y3y4X3X42,y3y42,--2,X-X4即直线m的斜率为2,方程为y12x1,即y2x1.y2x1由于方程组y2无解X2L12所以满足条件的直线m不存在.在抛物线中的应用：和椭圆，双曲线一样，涉及到有关弦的中点和斜率问题时，也可以应用“点差法”。例4:若抛物线y24x上存在关于直线ykx3(k0)对称的两点ykx3k0对pXo,yo.求k的取值范围.yy2屮y24X1X2,ky1y2kAB4421yo2ky22yoyokX1X2y1又7yokxo3,yo3Xo23kk解:设Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线上关于直线称的两点，则y124X1,y224X2,设AB的中点:点p在抛物线内部2-2k423k,即k232o当k0,则k32k3o,k1k2k3o,即k1,无解.当ko,则k32k3o,k1k2k3o,即k1,故-1ko点评：本题的难点在于通过点p在抛物线内部建立关于k的不等式，这个显然的几何条件往往被忽视。（四）练习：1：抛物线yxx4yy2将y-代入—y24=4x经过焦点的弦的中点轨迹方程是（）22A、yx1B、y2x1212C、yx丄D、y2x12x22：倾斜角为一的直线交椭圆一y21于A、B两点，贝9线段ABTOC\o"1-5"\h\z44y中点的轨迹方程是.223:若椭圆—仝1的弦被点4,2平分,则此弦所在直线的斜率369为（）11A、2B、2C、一D、一324:已知椭圆x22y24,则以1,1为中点的弦的长度为（）A>3^2B、2亦C、、30D>-V632解1:中点Mx,y,Ax1,y1,B卷，y2是弦端点作差得*y2y1y24x1X2ky1kABy242又.*kkABFMx1X2屮y2y2y2y2x1.yx1yx12:x4y0x设Ax^%,Bx2，y2y『2&X2,两式作差得x1x4y04y,4亦1x.53:设弦端点Ax1,y1,Bx2,y2两式作差得2Xi2X22yi2y2k◎X2XiX2Xi4yiy22.4:设弦端点AXi,yi,BX2』2Xi里XiX22此弦的直线方程为X2yiy2y-1=-2得3x2-6x1TOC\o"1-5"\h\z3即yx,2代入x22y24
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