第5章第1节

第五章　第一节1．给出下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．其中正确的等式的个数是(　　)A．2　　　　　B．3　　　　　C．4　　　　　D．5解析：选C　③中，a＋(－a)＝0，故错误，①②④⑤正确．故选C.2．已知向量p＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)，其中a，b均为非零向量，则|p|的取值范围是(　　)A．[0，eq\r(2)]　　　　B．[0,1]　　　　C．(0,2]　　　　D．[0,2]解析：选D　由题意知eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)为单位向量，当两单位向量互为相反向量时，|p|＝0；当两单位向量共线同向且首尾相接时，|p|＝2，所以0≤|p|≤2.故选D.3．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列等式错误的是(　　)A.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))　　　　B.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))　　D.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))解析：选D　由向量加法的三角形法则知eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))正确，排除B.由向量加法的平行四边形法则知eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))正确，排除A、C.故选D.4．(2014·广元模拟)如图，已知eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→)) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示eq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))等于(　　)A.eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))　　　　B.eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))　　D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))解析：选C　eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→)).故选C.5．(2014·石家庄二中模拟)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)A．k＝1且c与d同向　　　　B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向　　　　D．k＝－1且c与d反向解析：选D　由c∥d，得c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ,λ＝－1))即λ＝k＝－1，此时c与d反向，故选D.6．(2014·浙江质检)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋2\o(OC,\s\up6(→))))，则点P一定为三角形ABC的(　　)A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析：选B　设AB的中点为M，则eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴P，M，C三点共线，且P是CM靠近C点的一个三等分点．故选B.7．(2014·银川一中模拟)在△ABC中，P是BC边中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ceq\o(AC,\s\up6(→))＋aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＝0，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形但不是等边三角形解析：选C　在△ABC中，由P是BC边中点可知，ceq\o(AC,\s\up6(→))＋aPA＋beq\o(PB,\s\up6(→))＝0，即ceq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)a(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)b(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(a＋b,2)))eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(a－b,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.∵eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c－\f(a＋b,2)＝0，,\f(a－b,2)＝0，))∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形，故选C.8．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量(　　)A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|解析：选C　利用向量运算法则，特别是|a|2＝a2求解．由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a·b＝－|a||b|.∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，故D错误．9．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为________．解析：平行四边形　∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).∴四边形ABCD为平行四边形．10．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝________.解析：eq\f(1,2)　由eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).11．(2014·洛阳模拟)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，eq\o(BC,\s\up6(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，则|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝________.解析：2　由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|可得，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，所以AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，所以|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2.12．(2014·海南中学月考)若不重合的四点P，A，B，C满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AP,\s\up6(→))，则实数m的值为________．解析：3　由题意得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，∴(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＝－meq\o(PA,\s\up6(→))，∴(m－2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∴m－2＝1，∴m＝3.13．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求证：B，E，F三点共线．(1)解：延长AD到G，使eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：由(1)可知eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))∥eq\o(BF,\s\up6(→))又因为eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共点B，所以B，E，F三点共线．1．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D等分eq\x\to(AB)，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于(　　)A．a－eq\f(1,2)b　　　　　　B.eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b　　　　　　D.eq\f(1,2)a＋b解析：选D　连接OC、OD、CD，则△OAC与△OCD为全等的等边三角形，所以四边形OACD为平行四边形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，故选D.2．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，则△ABM与△ABC的面积比为(　　)A.eq\f(1,5)　　　　B.eq\f(2,5)　　　　C.eq\f(3,5)　　　　D.eq\f(4,5)解析：选C　设AB的中点为D，由5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，得3eq\o(AM,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))，即3eq\o(CM,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→))，如图所示．故C，M，D三点共线，且eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up6(→))，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为eq\f(3,5)，则△ABM与△ABC的面积比为eq\f(3,5).故选C.3．(2014·山西四校联考)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))　　　　B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))　　　　D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析：选D　依题意，设eq\o(BO,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，其中1<λ<eq\f(4,3)，则有eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，于是有x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，选D.4．非零向量a，b使得|a＋b|＝||a|－|b||成立的一个充分非必要条件是(　　)A．a＋b＝0　　　　B．a＝bC.eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)　　　　D．a∥b解析：选A　∵非零向量a，b使得|a＋b|＝||a|－|b||成立，∴|a＋b|2＝||a|－|b||2，展开化为cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π.因此非零向量a，b使得|a＋b|＝||a|－|b||成立的充要条件是〈a，b〉＝π，即a，b异向共线．故非零向量a，b使得|a＋b|＝||a|－|b||成立的一个充分非必要条件是a＋b＝0，故选A.5．如图，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN＝eq\f(1,3)AC，在AB上取点M，使得AM＝eq\f(1,3)AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝eq\f(1,2)BN，在CM的延长线上取一点Q，使MQ＝λCM时，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，试确定λ的值．解：由条件，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)).eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))－λeq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→)).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2).