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计数原理与二项式定理知识梳理•KnowledgeCombing」坏染色•环染色问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
用*种不同的颜色将含有n(n-3)个部分的圆环染色，要求相邻的部分染不同的颜色，求所有可能的染色方案数6・•变异的环染色问题用k种不同的颜色将含有n(n“3)个部分的圆环以及中心染色，要求相邻的部分染不同的颜色，求所有可能的染色方案数如・变异的坏染色问题的通项公式用E种不同的颜色将含有n(n3)个部分的圆环以及中心染色，要求相邻的部分染不同的颜色，求所有可能的染色方案数6•□欧拉错排•欧拉错排错排问题是组合数学中的问题之■，考虑有口个元素的扌II：列，如果•个拙列中所有元素都不在自己原来的位置上，即a\,a2f•••,an是1,2,•••,n的■个排列,且满足Vi=1,2,…,n,ai□=i,那么这样的排列就称为原排列的•个错排.n个元素的错排数记为P(n),研究•个排列错扌IF个数的问题称为错排问题，因为这个问题最早被伯努利和欧拉研究，所以也称为伯努利-欧拉错排问题.•错排数公式由递推公式或通项公式知£>(!)=0,D(2)=1,P(3)=2,D(4)=9,D(5)=44,D(6)=265.□卡特兰数•卡特兰数的定义卡特兰数(Catalan)来源于卡特兰解决凸n+2边形的剖分时得到的数列G,在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等方面都会有其不同侧面的介绍.卡特兰问题的解决过程应用了人量的映肘
方法
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，堪称计数的映射方法的典范.•卡特兰数的性质通项公式・通项公式二H+171十1f=o递推公式•」LCi=1：递推公式二2(272+1)1=0□二项式定理•二项式定理它•共有71+1项，其中各项系数C7r=0,1,••-,H）叫做展开式的二项式系数・•二项展开式的通项A.2lB.24C.30D.48二项展开式的第r+1项称为通项，为Trd=C「來~&(0™reN,n€N.)经典例题•ClassicExamplesJ环染色+例题1如图，在A,B,C,D,E五个区域中栽种3种植物，耍求同•区域中只种I种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方案的总数为(+例题2求满足以下条件的正整数数列{an}(neN)的个数：对任意neN都有an™100且6=6呦且an□=an^・设皿…鯨6是正2016边形,从这2016个顶点中选出若干个使之能作为正多边形的顶点,则不同的选法共有（A.2520种)B.3528种C.4536种D.6552种+例题4已知5,…，小为1,2,…"的任意•个排列,若Xi=i则i为指定排列的-个不动点，设排列口心…•，心的不动点的个数计为X-求X的数学期望.」欧拉错排+例题5正整数1,2,3,•-•,n的全扌I咧（ai,g•…,an）满足a：i（i=1,2,•…，n）称为n项更列，记n项更列的个数为xn,下列命題正确的是（）Xn=（H—l）（Xn-i+心一2）（八"3）xn=n!—C^Xf）—Cdi—Cn~-.vn-2（n"3,x〉=1，M=0）nrtn—!严宵x=2l!J卡特兰数+例题6三个互异的数a,b,c相乘时可以有不同的相乘方法,如(ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca)就是其中4种不同的相乘方法.设n个互异数的不同相乘方法共有In种，则()A.I：=2B・L=12C.I<=96D.L=120□二项式定理+例题7.」—工”」丿.」—工■)」—」—求证：Vn€N*»2+1都能写成m-1(zn€N*)的形式•(例如2十1~=9+8).+例题8证明：不等式¥”<□!<中在自然数n-6的条件下成立.独立掷n次硬币5为正整数)，每•次掷硬币只出现正面和反面，a(n)衣示掷n次硬币出现正面的次数恰好是3的倍数的情况总数，b(n)农示掷n次駛币出现正面的次数恰好是6的倍数情况总数.⑴求a(2016),6(2016):(2)当n2016时，求使得2b(ri)>a(n)的正整数n的个数.课后习题・MatchingExercises定义“
规范
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01数列”｛an｝如下：｛an｝共有2m项，其中m项为0,m项为1,且对任总k^2m.a,a：,---,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有（）A.18个B.16个C.14个D.12个4封不同的信放入4只写好地址的信封中•全部装错的概率为，恰好只有•封装错的概率为在・l+2x—亡耳的二项展开式中x7的系数是习题参考答案・KeyToExerciesesl.C.2.9—*0・24
浙公网安备 33021202002483