两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)

　　　三角函数导学案（3）　杨恒清使用时间：2014-10-22　　　三角函数导学案（3）　杨恒清使用时间：2014-10-22省扬高中高三 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 练习　　第PAGE4页省扬高中高三数学练习　　第PAGE1页两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)一．【学习目标】1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.二．重点、难点、易错（混）点、常考点灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值三．【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：C；CS；S．T由T可得公式变形T由T可得公式变形得：2.二倍角的正弦、余弦、正切公式________________；________________。________________=________________=________________；四．【基础题达标】1．=2．sin15°sin30°sin75°＝__________．3．cos20°cos40°cos60°cos80°=4．，=5.的值等于6．=7．化简：=8．若，则的值9．且，则10．，=11．函数的最大值为12．.若，则13．=14．化简：=15．已知cos（）+sin=考点一：　运用公式求值、求角问题【例1】(1)已知cosα＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求cos(α－β)的值．(2)已知0<β<eq\f(π,2)<α<π，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，求cos(α＋β)的值；(3)已知eq\f(π,2)＜β＜α＜eq\f(3,4)π，sin(α－β)＝eq\f(12,13)，cos(α＋β)=－eq\f(3,5)，求sin2α的值(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，求2α－β的值．【训练1】已知是锐角且，求【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值为________．考点二：　公式的变形应用【例2】已知：=。求证：=【训练1】若，求【训练2】已知均为锐角且，则【训练3】若。则=【训练4】已知为锐角，且，则考点三：　应用公式化为一个角的三角函数，研究最值、值域问题【例3】已知向量，且A为锐角（1）求角A的大小（2）求函数的值域。五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．　六、课后反思（1）本节课我回顾了哪些知识：（2）本节课我重新认识了哪些道理：　　　　（3）本节课学习中还存在哪些不足：两角和与差的正弦、余弦和正切(二倍角公式)一．【学习目标】1、掌握并熟练使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值；2、能针对不同情况进行寻找已知角之间的关系，灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切公式，二倍角公式进行证明、化简和求值.二．重点、难点、易错（混）点、常考点灵活使用两角和与差的余弦、正弦、正切进行证明、化简和求值三．【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：C；CS；S．T由T可得公式变形T由T可得公式变形得：2.二倍角的正弦、余弦、正切公式________________；________________。________________=________________=________________；四．【基础题达标】1．=2．sin15°sin30°sin75°＝__________．3．cos20°cos40°cos60°cos80°=4．，=5.的值等于6．=7．化简：=8．若，则的值9．且，则10．，=11．函数的最大值为12．.若，则13．=14．化简：=15．已知cos（）+sin=考点一：　运用公式求值、求角问题【例1】(1)已知cosα＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求cos(α－β)的值．(2)已知0<β<eq\f(π,2)<α<π，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，求cos(α＋β)的值；(3)已知eq\f(π,2)＜β＜α＜eq\f(3,4)π，sin(α－β)＝eq\f(12,13)，cos(α＋β)=－eq\f(3,5)，求sin2α的值(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，求2α－β的值．规律揭示：(1)解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有：eq\f(α＋β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))；α＝(α－β)＋β等；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))；15°＝45°－30°等．(2)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(3)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好．【训练1】已知是锐角且，求【训练2】(2012·江苏卷)设α为锐角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值为________．考点二：　公式的变形应用【例2】已知：=。求证：=【训练1】若，.则【训练2】已知均为锐角且，则【训练3】若。则=【训练4】已知为锐角，且，则考点三：　应用公式化为一个角的三角函数，研究最值、值域问题【例3】已知向量，且A为锐角（1）求角A的大小（2）求函数的值域。五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．　六、课后反思（1）本节课我回顾了哪些知识：（2）本节课我重新认识了哪些道理：　　　　（3）本节课学习中还存在哪些不足：