导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我检验】一、自主归纳1．利用导函数判断函数单调性问题函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有以下关系(1)假设_______，则f(x)在这个区间上是增添的．(2)假设_______，则f(x)在这个区间上是减少的．(3)假设_______，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤求f′(x)．(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)依据结果确立f(x)的单调区间．3．函数的极大值在包括x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．4．函数的极小值在包括x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____x0点的函数值，称点x0x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点．5．函数的最值与导数1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上全部点的函数值都_________f(x0)．2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上全部点的函数值都_________f(x0)．二、自我检验1．函数f(x)＝x＋elnx的单调递加区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞)D．R2．假设函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．1导数在研究函数中的应用3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象以以下图，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个4．假设函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时获得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．55.函数ylnx的最大值为〔〕xA．e1B．eC．e2D．103【典型例题】考点一利用导数研究函数的单调性【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)谈论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．【变式训练1】已知fxx3ax2a2x2．〔1〕假设a1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；〔2〕假设a0，求函数fx的单调区间．2导数在研究函数中的应用考点二利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数fxlnxax3,aR.1〕当a1时，求函数的极值；2〕求函数的单调区间.【变式训练2】(2011·安徽)设f(x)＝ex41＋ax2，此中a为正实数.当a＝3时，求f(x)的极值点；考点三利用导函数求函数最值问题【例3】已知a为实数，fx(x24)(xa).〔1〕求导数fx；〔2〕假设f10，求fx在2,2上的最大值和最小值.【应用体验】1.函数yxlnx的单调递减区间为〔〕A．1,1B．0,C．1,D．0,13导数在研究函数中的应用2.函数fxxex的单调递减区间是〔〕A．(1,)B．(,1)C．(,1)D．(1,)3.函数fxx3ex的单调递加区间是〔〕A．0,3B．1,4C．2,D．,24.设函数fx2lnx，则〔〕xA．x1为fx的极大值点2B．x1为fx的极小值点2C．x2为fx的极大值点D．x2为fx的极小值点5．函数f(x)2x33x2a的极大值为6，那么a的值是〔〕A．0B．1C．5D．6【复习与坚固】A组夯实基础一、选择题1．已知定义在R上的函数fx，其导函数fx的大体图象以以下图，则以下
表
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达正确的选项是〔〕A．fbfcfdB．fbfafeC．fcfbfaD．fcfefd2.函数fxx2alnx在x1处获得极值，则a等于〔〕4导数在研究函数中的应用A．2B．2C．4D．43.函数fxexx〔e为自然对数的底数〕在区间1,1上的最大值是〔〕A.1＋1B.1eC.e＋1D.e－1二、填空题4.假设函数fxx3x2mx1是R上的单调增函数，则实数m的取值范围是________________．5.假设函数fx3x2ax在x0处获得极值，则a的值为_________.ex6.函数f(x)exx在[1,1]上的最小值是_____________.三、解答题7.已知函数fx1x2lnx,求函数fx的单调区间28.fxaxx1．已知函数x,lnx〔1〕假设fx在1,上单调递减，务实数a的取值范围；〔2〕假设a2，求函数fx的极小值.5导数在研究函数中的应用B组能力提高一、选择题1．已知函数fxx21lnx3在其定义域内的一个子区间a1,a1内不是单调函22数，则实数a的取值范围是〔〕．．,3231,2B．D．51,31,22.假设函数yx32axa在0,1内无极值，则实数a的取值范围是〔〕A．3B．,00,2C．,03,D．3,223.假设函数fxx33x2a在1,1上有最大值3，则该函数在1,1上的最小值是2〔〕A．1B．02C．1D．12二、填空题1214．已知函数f(x)＝2x＋2ax－lnx，假设f(x)在区间3，2上是增函数，则实数a的取值范围为________．5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，假设x1<2
答案
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一．自主归纳1.〔1〕f′(x)>0〔2〕f′(x)<0〔3〕f′(x)＝03.小于4.大于极值5.不超出不小于二．自我检验e分析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋x>0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：A分析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.1又∵f(x)在R上是单调增函数，∴f′(x)≥0恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，即m≥3.1答案：3，＋∞分析：导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左边图象在x轴下方，右边图象在x轴上方的只有一个，应选A.答案：A4.分析：fx＝x2＋ax＋，由题意知f′－3)＝，即×－3)2＋′()323(03(2×(－3)a＋3＝0，解得a＝5.答案：D5..A【分析】ylnxy1lnx，令y1lnx0xe，当x(0,e)时函xx2x2数单调递加，当x(e,)时函数单调递减，ymax1e1，应选A.e三．典型例题【例题fx的定义域为，＋∞，f′(x1假设a≤，则f′(x，1】(1)((0))＝－a)>0)x.01所以f(x)在(0，＋∞)单调递加．假设a>0，则当x∈0，a时，f′(x)>0；当x∈1，＋∞时，f′(x)<0.所以f(x)在0，1单调递加，aa8导数在研究函数中的应用1在a，＋∞单调递减．1由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a>0时，f(x)在x＝a处111获得最大值，最大值为fa＝lna＋a1－a＝－lna＋a－1.所以f1a－等价于a＋a－a>22ln1<0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)单调递加，g(1)＝0.于是，当a时，ga)<0；当a时，ga0<<1(>1()>0.所以，a的取值范围是(0,1)．【变式训练1】〔1〕当a1时，fxx3x2x2，∴fx3x22x1，∴切线斜率为kf14，又f13，∴切点坐标为1,3，∴所求切线方程为y34x1，即4xy10．〔2〕fx3x22axa2xa3xa，由fx0，得xa或xa.3a0,aa.由fx0，得xa或xa，由fx0，得axa.333∴函数fx的单调递减区间为a,a，单调递加区间为,a和a,．33【例题】〔〕当a1时，fxlnxx3，fx11x，211xx0x令fx0，解得0x1，所以函数fx在(0,1)上单调递加；令fx0，解得x1，所以函数fx在1,上单调递减；所以当x1时取极大值，极大值为f12，无极小值.〔2〕函数fx的定义域为0,，fx1a.x1当a0时，f(x)a0在0,上恒成立，所以函数fx在0,上单调x递加；9导数在研究函数中的应用当a0时，令fx0，解得0x1，所以函数fx在0,1上单调递加；aa令fx0，解得x1，所以函数fx在1,上单调递减.aa综上所述，当a0时，函数fx的单调增区间为0,；当a0时，函数fx的单调增区间为0,1，单调减区间为1,.aa【变式训练2】解对f(x)求导得x1＋ax2－ax42f′(x＝2＝，－x＋＝e·22.当a＝时，假设f′(x则4x)1＋ax3)0830，31解得x1＝2，x2＝2.结合①，可知(－∞，133x112(2，2)22)f′(x)＋0－0f(x)极大极小值值31所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点.22【例题3】1〕f'x2x(xa)(x24)3x22ax〔〕由f10得a1，22故f(x)(x24)(x1)x31x24x2，22则f'x3x2x4x1,或xx44，33由f(2)f(2)0，f(1)9，f41644123932故fmax(x)9，fmin(x)50.2273(2，＋∞)＋.20550.962710导数在研究函数中的应用【变式训练】〕当a0时，函数f()ex20，f(x)在R上单调递加，31xa当a0时，f(x)ex2a，令ex2a0，得xln(2a)，所以当x(,ln(2a))时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(ln(2a),)时，f(x)0，函数f(x)单调递加.〔〕由〔〕可知，当a0时，函数(x)ex2ax0，不吻合题意.21f当a0时，f(x)在(,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),)上单调递加.①当ln(2a)1，即ea0时，f(x)最小值为f(1)2ae.2解2ae0，得ae，吻合题意.2②当ln(2a)1，即ae时，f(x)最小值为f(ln(2a))2a2aln(2a)，2解2a2aln(2a)0，得ae，不吻合题意.2综上，ae.2应用体验：1.D【分析】函数的定义域为0,，令y11x10，解得x0,1，又x0，xx所以x0,1，应选D.考点：求函数的单调区间.2.A【分析】导数为fxexxex1xex，令fx0，得x1，所以减区间为1,.考点：利用导数求函数的单调区间．3.C【分析】fxexx3exexx2，令fxexx20，解得x2，所以函数fx的单调增区间为2,．应选C．11导数在研究函数中的应用4【.分析】f21x2得x2，又函数定义域为，x2xx2，由fx00,x当0x2时，fx0，fx递减，当x2时，fx0，fx递加，所以2是函数fx的极小值点．应选D．考点：函数的极值点．5.D【分析】f(x)2x33x2a,fx6x26x6xx1，令fx0,可得x0,1，简单判断极大值为f0a6.考点：函数的导数与极值.复习与坚固组1.C【分析】由fx图象可知函数fx在,c上单调递加，在c,e上单调递减，在e,上单调递加，又a,b,c,c，且abc，故fcfbfa．考点：利用导数求函数单调性并比较大小．2.B【分析】fx2xa，由题意可得f121a2a0，a2.应选B.x1考点：极值点问题.3.D【分析】fxex1，令fx0,得x0.又f0e001,f1e11,f1111,且e111e12＝eeee22e1xmaxf1e1,应选D.e0，所以f考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.1,312导数在研究函数中的应用【分析】由题意得f(x)0在R上恒成立，则fx3x22xm0，即m3x22x恒成立.令gx3x22x，则mgxmax，由于gx23x22x为R上的二次函数，所以gxmaxg13133211，则m的取值范围是1,.3335.0x3x2axex2【分析】fx6xae3x6axa，2exex由题意得f0a0．考点：导数与极值．1【分析】由于f(x)ex1，f(x)0x0,f(x)0x0，所以f(x)在[1,0]单调递减，在[0,1]单调递加，从而函数f(x)exx在[1,1]上的最小值是f(0)e001.考点：函数的最值与导数.7.【分析】fx1x2lnx的定义域为0,，2fxx1x21，令fx0，则x1或1〔舍去〕.xx∴当0x1时，fx0，fx递减，当x1时，fx0，fx递加，∴fx的递减区间是0,1，递加区间是1,．考点：利用导数求函数的单调区间．8.〔1〕a1〔〕4e42【分析】〔1〕函数fxax,x1，则fxlnx1a，由题意可得xln2xlnx2fx0在x1,上恒成立，∴a11111，ln2xlnxlnx2413导数在研究函数中的应用112∵x1,，lnx0,,时，函数t111取最小值lnx02lnx241，a1，44〔2〕当a2时，fxlnx12ln2x，2x，fxxlnxln2x令fx0，得2ln2xlnx10，解得lnx1或lnx〔舍去〕，即xe.21当1xe时，fx0，当xe时，fx0，∴fx的极小值为fe4e.B组1.D【分析】由于函数fxx21lnx3在区间a1,a1上不但调，所以22fx2x14x21在区间a1,a1上有零点，2x2x由fx0，得x1a10,得1a3，应选．，则12a1a1,2D2考点：函数的单调性与导数的关系．2.C【分析】y3x22a，①当a0时，y0，所以yx32axa在0,1上单调递加，在0,1内无极值，所以a0吻合题意；②当a0时，令y0，即3x22a0，解得x16a,x26a，当x,6a6a,时，3333y0，当x6a,6a时，y0，所以yx32axa的单调递加区间为33,6a,6a,，单调递减区间为6a,6a，当x6a时原函33333数获得极大值，当x6a时，原函数获得极小值，要满足原函数在0,1内无极314导数在研究函数中的应用值，需满足6a1，解得a3.综合①②得，a的取值范围为,03,，322应选C.考点：导函数，分类谈论思想.3.C【分析】fx3x23x3xx1，当fx0时，x1或x0，当fx0时，0x1，所以fx在区间1,0上函数递加，在区间0,1上函数递减，所以当x0时，函数获得最大值f0a3，则fxx33x23，所以2f11，f15，所以最小值是f11．222考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.1114.分析：由题意知f′(x)＝x＋2a－x≥0在3，2上恒成立，即2a≥－x＋x在118843，2上恒成立，∵－x＋xmax＝3，∴2a≥3，即a≥3.4答案：3，＋∞5.分析：此题观察利用导数研究函数的极值及不等式的解法．由f′(x＝x2－)3a，a>2ax＋a2＝x2，∴∴a0得x1＝，x2＝a又∵x1a43.<2<2<<6.3<2，答案：(2,6)分析：∵f(x)＝x2－ex－ax，∴f′(x)＝2x－ex－a，∵函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递加区间，∴f′(x)＝2x－ex－a≥0，即a≤2x－ex有解，设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln2，则当x0，g(x)单调递加，当x>ln2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴当x＝ln2时，g(x)获得最大值，且g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，∴a≤2ln2－2.答案：(－∞，2ln2－2)a解：(1)由题意得x>0，f′(x)＝1－x＋x2.15导数在研究函数中的应用由函数f(x)在定义域上是增函数，得fxaxx2x－1)2＋′()≥0，即≥2－＝－(1(x>0)．由于－(x－1)2＋≤1(当x＝1时，取等号)，所以a的取值范围是[1，＋∞．1)g′(x＝x2x－x，由得a＝时，fx＝x－2(2)ex－1＋2ln(1)22lnx－＋，)()x1且fx在定义域上是增函数，又f(1)＝，()0所以，当x∈(0,1)时，f(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.所以，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.故当x＝1时，g(x)获得最大值－e.8.解：(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2xx(ex－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化以下表：x(－∞，0)0(0，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由表可知，函数f(x)的单调递减区间为[0，ln2]，单调递加区间为(－∞，0]，[ln2，＋∞)．f(x)的极大值为f(0)＝－1，极小值为f(ln2)＝2f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)，当x<1时，f(x)<0，所以f(x)在(－∞，1)上无零点．故只需证明函数f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．①假设k∈0，e，则当x≥1时，f′(x≥，fx在[1，＋∞上单调递加．2)0())f＝－k≤，f＝22，(1)(2)e－k≥e－∵042e>0∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．e②假设k∈2，＋∞，则f(x)在[1，ln2k]上单调递减，在[ln2k，＋∞)上单调递加．16导数在研究函数中的应用(1)＝－k<0，f(k＋1)＝kek＋1－k(k＋1)2＝k[ek＋1－(k＋1)2]，令g(t)＝et－t2，t＝k＋1>2，则g′(t)＝et－2t，g″(t)＝et－2，∵t>2，∴g″(t)>0，g′(t)在(2，＋∞)上单调递加．∴g′(t)>g′(2)＝e2－4>0，∴g(t)在(2，＋∞)上单调递加．g(t)>g(2)＝e2－4>0.f(k＋1)>0.f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．综上，当k∈[0，＋∞)时，f(x)在R上有且只有一个零点．17
浙公网安备 33021202002483