第2课时 矩形的判定1.理解并掌握矩形的判定
方法
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;(重点)2.能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用.(难点) 一、情境导入小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他做的是矩形相框?看看谁的方法可行!二、合作探究探究点一:矩形的判定【类型一】对角线相等的平行四边形是矩形如图所示,外面的四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上,且AM=BP=CN=DQ.求证:四边形MPNQ是矩形.解析:要证明四边形MPNQ是矩形,应先证明它是平行四边形,由已知可再证明其对角线相等.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD.∵AM=BP=CN=DQ,∴OM=OP=ON=OQ.∴四边形MPNQ是平行四边形.又∵OM+ON=OQ+OP,∴MN=PQ.∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).方法
总结
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:在判断四边形的形状时,若已知条件中有对角线,可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5
题
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【类型二】有三个角是直角的四边形是矩形如图,GE∥HF,直线AB与GE交于点A,与HF交于点B,AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线.求证:四边形ADBC是矩形.解析:利用已知条件,证明四边形ADBC有三个角是直角.证明:∵GE∥HF,∴∠GAB+∠ABH=180°.∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线,∴∠1=eq\f(1,2)∠GAB,∠4=eq\f(1,2)∠ABH,∴∠1+∠4=eq\f(1,2)(∠GAB+∠ABH)=eq\f(1,2)×180°=90°,∴∠ADB=180°-(∠1+∠4)=90°.同理可得∠ACB=90°.又∵∠ABH+∠FBA=180°,∠4=eq\f(1,2)∠ABH,∠2=eq\f(1,2)∠FBA,∴∠2+∠4=eq\f(1,2)(∠ABH+∠FBA)=eq\f(1,2)×180°=90°,即∠DBC=90°.∴四边形ADBC是矩形.方法总结:矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的,注意它们的区别和联系,此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角,则这个四边形就是矩形.【类型三】有一个角是直角的平行四边形是矩形如图所示,在△ABC中,D为BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系?请说明理由;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.解析:(1)根据“两直线平行,内错角相等”得出∠AFE=∠DCE,然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等,根据“全等三角形对应边相等”可得AF=CD,再利用等量代换即可得BD=CD;(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形,再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB=90°.由等腰三角形“三线合一”的性质可知△ABC满足的条件必须是AB=AC.解:(1)BD=CD.理由如下:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE.∵E是AD的中点,∴AE=DE.在△AEF和△DEC中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFE=∠DCE,,∠AEF=∠DEC,,AE=DE,))∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF=CD.∵AF=BD,∴BD=DC;(2)当△ABC满足AB=AC时,四边形AFBD是矩形.理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形.∵AB=AC,BD=DC,∴∠ADB=90°.∴四边形AFBD是矩形.方法总结:本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法,明确有“一个角是直角的平行四边形是矩形”是解本题的关键.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点二:矩形的性质和判定的综合运用如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是矩形;(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD的面积.解析:(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分;(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC,然后根据矩形面积公式求得.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD.∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是矩形;(2)解:∵G是OC的中点,∴GO=GC.∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°.又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,∴CD=OD.∵F是BO中点,OF=2cm,∴BO=4cm.∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4cm,∴DC=4cm,DB=8cm,∴CB=eq\r(DB2-DC2)=4eq\r(3)cm,∴S矩形ABCD=4×4eq\r(3)=16eq\r(3)(cm2).方法总结:首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.三、板书设计通过探索与交流,得出矩形的判定定理,使学生亲身经历知识的发生过程,并会运用定理解决相关问题.通过开放式命题,尝试从不同角度寻求解决问题的方法.通过动手实践、合作探索、小组交流,培养学生的逻辑推理能力