九年级数学相似三角形的判定培优教程

九年级数学相似三角形的判定培优教程考点·方法·破译1.理解掌握三角形相似的三个判定定理，能根据已知条件选择合适的定理证明三角形相似;2.能灵活根据需要找相似三角形，并能熟练进行比例变换、等积变换;3.会进行数形转化，将等积问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 、比例问题、求边长及证角相等等问题转化为证相似求解.经典·考题·赏析【例1】(新疆)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()【解法指导】本题主要用SAS和SSS进行判定，若能运用排除法就更便捷，方法是根据△ABC的最大角等于135°,而B、C、D的钝角均小于135°，且A中三角形夹钝角两边之比为1:2，与△ABC夹钝角两边之比相等，由SAS可判定它们相似.本题应选A.【变式题组】1.(沈阳)如图，AC是矩形ABCD的对角线,E是边BC延长线上一点，AE与CD交于点F，则图中相似三角形共有()对ABC第4题图DABCDO第3题图ADBC第2题图A.2对B.3对C.4对D.5对ADF第1题图第1题图BCE122.(滨州)如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD·AB。其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为()A.1B.2C.3D.43.(山西)如图，AB是⊙O的直径,AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC//OD,AB=2,OD=3，则BC的长为()A.B.C.D.4.(牡丹江)如图,△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是()①∠1=∠A，②，③∠B+∠2=90°,④BC：AC：AB=3：4：5，⑤AC·BD=AC·CDA．1B.2C.3D.4【例2】(潍坊)如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连结AB、BC.(1)求证△ABC∽△ADB;(2)若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长.【解法指导】(1)证明:∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°，又∵AD⊥BP，∴∠ADB=90°，∴∠ABC=∠ADB,又∵PB是圆的切线，∴∠ABD=∠ACBABCDPO在△ABC和△ADB中:∴△ABC∽△ADB；连结OP，在Rt△AOP中，AP=12厘米，OA=5厘米，根据勾股定理求得OP=13厘米，又由已知可证得△ABC∽△PAO，∴【变式题组】ABCPO5.(清远)如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC.(1)求证:△ABC∽△POA；(2)若OB=2，OP=.求BC线段的长.6.(梅州)如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F.（1）△ADE∽△BEF；（2）设正方形的边长为4,AE=x，BF=y.当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值.ABCDEF【例3】(怀化)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG、AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N，求证:(1)AE=CG;(2)AN·ND=CN·MN.ABCDEFGNM【解法指导】证明:（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形∴AD=CD，DE=DG,∠ADC=∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG,∴△ADE≌△CDG,∴AE=CG。（2）由(1)得△ADE≌△CDG,∴∠DAE=∠DCG，又∠ANM=∠CND,∴，即AN·DN=CN·MN∴△AMN∽△CDN【变式题组】ABCDEFG7.(泰安)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2=FB•FC；(2)若G是BC的中点，连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由.【例4】(安徽)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F,ME交BC于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG.如果α=45°，AB=，AC=3，求FG长。【解法指导】解:(1)△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM(写出两对即可)以下证明△AMF∽△BGM.∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B∴△AMF∽△BGM.（2）解:当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC,∵M为AB的中点，∴AM=BM=又∵△AMF∽△BGM，∴∴又AC=BC=cos45°=4，∴CG=4-=，CF=4-3=1∴FG=【变式题组】ABCDMN(中山)正方形ABED边长为4,M,N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积;(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值.【例5】(全国竞赛)如图，已知四边形ABCD的内接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E,AE=EC，AB=AE，且BD=,求四边形ABCD的面积.【解法指导】本题要根据等积式化成比例式，再利用两边对应成比例,夹角相等判定△ABE∽△ACB，推出∠ABE=∠ACB.(要注意逆向思维的应用)解：由题设得AB2=2AE2=AE·AC,∵AB：AC=AE：AB，又∠EAB=∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE=∠ACB，从而AB=AD。连结AO，交BD于H,则BH=HD=.∴OH=，AH=OA-OH=2-1=1.∴，∵E是AC的中点，∴S△ABE=S△BCE，S△ADE=S△CDE，∴S△ABD=S△BCD，S四边形ABCD=2S△ABD=。【变式题组】9.(全国联赛)在锐角△ABC中，AD⊥BC,D为垂足，DE⊥AC,E为垂足，DF⊥AB,F为垂足.O为△ABC的外心.求证:(1)△AEF∽△ABC；(2)AO⊥EF.演练巩固反馈提高(南昌)下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）(恩施)如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E，且CD=2,DE=1，则BC的长为()A.2B.C.D.(梧州)如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A.B.C.D.4.(山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为()A.B.C.D.5.(抚顺)如图，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G,FG=2，则CF的长为()A.4B.4.5C.5D.66.(烟台)如图，△ABC与△AEF中，AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论:①∠AFC=∠C；②DF=CF；③△ADE∽△FDB;④∠BFD=∠CAF.其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号).ABCDE7.(肇庆)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE.(1)求证:∠CBE=36°；(2)求证：AE2=AC·EC.ABCDEO8.(怀化)如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD,EC=DC,⊙O交直线OD于A、B两点，连接BC、AC,OC.求证:(1)OC⊥DE；(2)△ACD∽△CBD.培优升级奥赛检测1.(吉林)如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF.(1)求证:△CBE∽△AFB；(2)当时，求的值FBACDEO2.(恩施)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFC摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，设BE=m,CD=n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.(2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.(3)以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2)在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2.A(4)在旋转过程中，(3)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明;若不成立,请说明理由.AABCDEGFCEODBG图2图1F3.(荆门)如图，半径为的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.(1)求证：PA·PB=PC·PD；C(2)设BC中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证；EF⊥AD;F(3)若AB=8,CD=6，求OP的长.PBAEODPNMFEDCBA4.(全国联赛)如图.四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,BM与AD交于点N.证明：∠AFN=∠DME.