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全册湘教版九年级数学下册教案全册PAGEPAGE\*MERGEFORMAT66湘教版九年级数学下册教案全册湘教版九年级数学下册教案1．1 二次函数1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)2．能根据实际情况建立二次函数模型，并确定自变量的取值范围．(难点) 一、情境导入已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗它是什么函数呢二、合作探究探究点一：二次函数的相关概念【类型一】二次函数的识别下列函数哪些是二次函数？(1)y＝2－x2;(2)y＝eq\f(1,x2－1)；(3)y＝2x(1＋4x);(4)y＝x2－(1＋x)2.解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式，不符合二次函数的定义，故y＝eq\f(1,x2－1)不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．解：二次函数有(1)和(3)．方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式中自变量最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？解析：紧扣二次函数定义求解，注意易错点为忽视k＋2≠0.解：根据题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－2＝2，,k＋2≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝±2，,k≠－2，))∴k＝2.方法总结：紧扣定义中的两个特征：①二次项系数不为零；②自变量最高次数为2.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】与二次函数系数有关的计算已知一个二次函数，当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝eq\f(1,2)；当x＝－1时，y＝eq\f(1,8).求这个二次函数中各项系数的和．解析：解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．把x＝0，y＝0；x＝2，y＝eq\f(1,2)；x＝－1，y＝eq\f(1,8)分别代入函数表达式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝0，,4a＋2b＋c＝\f(1,2)，,a－b＋c＝\f(1,8)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,8)，,b＝0，,c＝0.))所以这个二次函数的表达式为y＝eq\f(1,8)x2.所以a＋b＋c＝eq\f(1,8)＋0＋0＝eq\f(1,8)，即这个二次函数中各项系数的和为eq\f(1,8).方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解决这类问题要根据x，y的对应值，列出关于字母a，b，c的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a，b，c的值．探究点二：建立简单的二次函数模型一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x＋1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？(2)当x的值为2或4时，相应的剩余部分的面积是多少？解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．如图所示．解：(1)y＝122－2x(x＋1)，又∵2x≤12，∴0
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本节课是从生活实际中引出二次函数模型，从而得出二次函数的定义及一般形式，会写简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围，使学生认识到数学来源于生活，又应用于生活实际之中.1．2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2(a>0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)2．掌握形如y＝ax2(a>0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入自由落体公式h＝eq\f(1,2)gt2(g为常量)，h与t之间是什么关系呢它是什么函数它的图象是什么形状呢二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2(a>0)的图象已知y＝(k＋2)xk2＋k是二次函数．(1)求k的值；(2)画出函数的图象．解析：根据二次函数的定义，自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k的值，从而确定表达式，画出图象．解：(1)∵y＝(k＋2)xk2＋k为二次函数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＋k＝2，,k＋2≠0，))解得k＝1；(2)当k＝1时，函数的表达式为y＝3x2，用描点法画出函数的图象．列表：x－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1…y＝3x23eq\f(3,4)0eq\f(3,4)3…描点：(－1，3)，(－eq\f(1,2)，eq\f(3,4))，(0，0)，(eq\f(1,2)，eq\f(3,4))，(1，3)．连线：用光滑的曲线按x的从小到大的顺序连接各点，图象如图所示．方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y＝ax2(a≠0)图象关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题探究点二：二次函数y＝ax2(a>0)的性质已知点(－3，y1)，(1，y2)，(eq\r(2)，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是________．解析：方法一：把x＝－3，1，eq\r(2)分别代入y＝x2中，得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2；方法二：如图，作出函数y＝x2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；方法三：∵该图象的对称轴为y轴，a>0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y3)．又∵3>eq\r(2)>1，∴y1>y3>y2.方法总结：比较二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比较；②图象法；③根据函数的增减性进行比较，但当要比较的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比较．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题探究点三：二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质的简单应用已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．(1)求满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？解析：由二次函数的定义知：m2＋m－4＝2且m＋2≠0；抛物线有最低点，则抛物线开口向上，即m＋2>0.解：(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋m－4＝2，,m＋2≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2或m＝－3，,m≠－2，))∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数；(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2>0，即m>－2，∴取m＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x>0时，y随x的增大而增大．方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2(a<0)的图象；(重点)2．掌握形如y＝ax2(a<0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入上节课我们学习了a>0时二次函数y＝ax2的图象和性质，那么当a<0时，二次函数y＝ax2的图象和性质又会有怎样的变化呢？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2(a<0)的图象【类型一】二次函数y＝ax2(a<0)的图象在直角坐标系内，作出函数y＝－eq\f(1,2)x2的图象．解析：作函数的图象采用描点法，即“列表、描点、连线”三个步骤．解：列表：x012…y＝－eq\f(1,2)x20－eq\f(1,2)－2…描点和连线：画出图象在y轴右边的部分，利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，如图．方法总结：(1)列表应以0为中心，选取x>0的几个点求出对应的y值；(2)描点要准；(3)画出y轴右边的部分，利用对称性，可画出y轴左边的部分，连线要用平滑的曲线，不能是折线．【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断当ab>0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限；当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：二次函数y＝ax2(a<0)的性质【类型一】二次函数y＝ax2(a<0)的性质(2015·山西模拟)抛物线y＝－4x2不具有的性质是( )A．开口向上B．对称轴是y轴C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大D．最高点是原点解析：此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y＝ax2的基本形式，根据它的性质，进行解答．因为a＝－4＜0，所以图象开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴，最高点是原点．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．故选A.方法总结：抛物线y＝ax2(a<0)的开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．当x＝0时，图象有最高点，y有最大值0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次函数y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为( )A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c答案：A方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点三：二次函数y＝ax2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；(3)△AMB的面积．解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A(1，b)是直线y＝2x－3与二次函数y＝ax2的图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝a×12，,b＝2×1－3，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1；))(2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(－3，－9)；(3)如图所示，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，根据点的坐标的意义，可知MD＝3，MC＝1，CD＝1＋3＝4，BD＝9，AC＝1，∴S△AMB＝S梯形ABDC－S△ACM－S△BDM＝eq\f(1,2)×(1＋9)×4－eq\f(1,2)×1×1－eq\f(1,2)×3×9＝6.方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课仍然是从学生画图象着手，结合上节课y＝ax2(a＞0)的图象和性质，从而得出y＝ax2(a＜0)的图象和性质，进而得出y＝ax2(a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质1．会用描点法画出y＝a(x－h)2的图象；2．掌握形如y＝a(x－h)2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的联系．(难点)一、情境导入涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质【类型一】y＝a(x－h)2的顶点坐标已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴a(－4＋2)2＝2.∴a＝eq\f(1,2).方法总结：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次函数y＝a(x－h)2图象的形状顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－eq\f(1,2)x2的图象相同的抛物线的解析式为( )A．y＝eq\f(1,2)(x－2)2B．y＝eq\f(1,2)(x＋2)2C．y＝－eq\f(1,2)(x＋2)2D．y＝－eq\f(1,2)(x－2)2解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝－eq\f(1,2)x2的图象相同，所以a＝－eq\f(1,2)，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝－2，把a＝－eq\f(1,2)，h＝－2代入y＝a(x－h)2得y＝－eq\f(1,2)(x＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】二次函数y＝a(x－h)2的增减性及最值对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )A．y随x的增大而增大B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．当x＝－1时，y有最小值0D．当x＞1时，y随x的增大而增大解析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题探究点二：二次函数y＝a(x－h)2图象的平移【类型一】利用平移确定y＝a(x－h)2的解析式抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．解析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝eq\f(1,4)，∴平移后二次函数关系式为y＝eq\f(1,4)(x－3)2.方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】确定y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系向左或向右平移函数y＝－eq\f(1,2)x2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能，理由如下：设平移后的函数为y＝－eq\f(1,2)(x－h)2，将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－eq\f(1,2)(－9－h)2，所以h＝－5或h＝－13，所以平移后的函数为y＝－eq\f(1,2)(x＋5)2或y＝－eq\f(1,2)(x＋13)2.即抛物线的顶点坐标为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点三：二次函数y＝a(x－h)2与几何图形的综合把函数y＝eq\f(1,2)x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积．解：平移后的函数为y＝eq\f(1,2)(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，OC＝4.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)（x－4）2，,y＝x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝8.))∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)，∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝eq\f(1,2)×4×8－eq\f(1,2)×4×2＝12.方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计通过本节学习使学生认识到y＝a(x－h)2的图象是由y＝ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a，h对y＝a(x－h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左、向右平移，从中领会数形结合的数学思想.第4课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象；2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象与性质，并会应用；(重点)3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．(难点)一、情境导入前面我们是如何研究二次函数y＝ax2、y＝a(x－h)2的图象与性质的？如何画出y＝eq\f(1,2)(x－2)2＋1的图象？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象已知y＝eq\f(1,2)(x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交点坐标是(1，0)，则另一个交点坐标是(5，0)．解：(5，0)变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的关系．解析：对抛物线的分析应从开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，及最大(小)值几个方面分析．解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同；(2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当x>1时都是右升；(3)它们都有最小值．不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1，0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)；(2)y＝2(x－1)2的最小值是0，y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.方法总结：对于y＝a(x－h)2＋k类抛物线，a决定开口方向；|a|决定开口大小；h决定对称轴；k决定最大(小)值的数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点二：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的平移将抛物线y＝eq\f(1,3)x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A．y＝eq\f(1,3)(x－2)2－1B．y＝eq\f(1,3)(x－2)2＋1C．y＝eq\f(1,3)(x＋2)2＋1D．y＝eq\f(1,3)(x＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝eq\f(1,3)x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝eq\f(1,3)x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝eq\f(1,3)x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝eq\f(1,3)(x－2)2－1.故选A.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点三：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)求h，k的值；(2)判断△ACD的形状，并说明理由．解析：(1)按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式；(2)分别过点D作x轴和y轴的垂线段DE，DF，再利用勾股定理，可说明△ACD是直角三角形．解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－4，∴h＝－1，k＝－4；(2)△ACD为直角三角形．理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4.当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C点坐标为(0，－3)．顶点坐标为D(－1，－4)．作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y轴于点F，如图所示．在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计通过本节学习使学生掌握二次函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律.第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；2．会用配方法或公式法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握其性质；(重点)3．二次函数性质的综合应用．(难点)一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：化二次函数y＝ax2＋bx＋c为y＝a(x－h)2＋k的形式把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( )A．b＝3，c＝7B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5D．b＝－9，c＝21解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(11,4).将y＝(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(11,4)向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋bx＋c.则y＝x2＋bx＋c＝(x＋eq\f(3,2))2＋eq\f(19,4)，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A.方法总结：二次函数由一般式化为顶点式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆向推理则相反．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质【类型一】二次函数与一次函数图象的综合在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )解析：A、B中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(2,2m)＝－eq\f(1,m)＞0，则对称轴应在y轴右侧，故A、B选项错误；C中由函数y＝mx＋m的图象可知m＞0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(2,2m)＝－eq\f(1,m)＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误；D中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(2,2m)＝－eq\f(1,m)＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．故选D.方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.故选C.方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型三】二次函数图象的位置与各项系数符号的关系已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－eq\f(b,2a)＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________．解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；∵对称轴在y轴右侧，对称轴为－eq\f(b,2a)＞0；由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③④都正确．方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )A．3 B．－1 C．4 D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝eq\f(4ac－b2,4a)＝eq\f(4a（a－1）－42,4a)＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题探究点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＋2b＋c＝0，,c＝－6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝－6.))∴这个二次函数的解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋4x－6；(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－eq\f(4,2×（－\f(1,2)）)＝4，∴点C的坐标为(4，0)，∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×AC×OB＝eq\f(1,2)×2×6＝6.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计本节课所学的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质可以看作是y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求二次函数解析式的方法；(重点)2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的解析式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．(难点)一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为eq\f(1,2)米．你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点一：不共线三点确定二次函数的表达式【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝－5，,c＝－4，,a＋b＋c＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，,c＝－4.))∴这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4.方法总结：当题目给出函数图象上的任意三个点时，设一般式y＝ax2＋bx＋c，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵图象顶点是(－2，3)，∴h＝－2，k＝3，依题意得5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2.∴二次函数的解析式为y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y＝a(x－h)2＋k.顶点坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，最值为当x＝h时，y最值＝k.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】用交点式确定二次函数解析式已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．解析：由于已知图象与x轴的两个交点，所以可设y＝a(x－x1)(x－x2)求解．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.方法总结：此题也可设y＝a(x－h)2＋k，因为与x轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y轴．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．解析：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，根据对称轴是x＝－3，求出b＝6，即可得出答案；(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝－3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为(0，5)，求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴－eq\f(b,2)＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5；(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝eq\f(1,2)×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及利用解析式分析二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.1．4 二次函数与一元二次方程的联系1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)一、情境导入小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程的联系【类型一】二次函数图象与x轴交点情况的判断下列函数的图象与x轴只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．故选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型二】利用函数图象与x轴交点情况确定字母的取值范围(2015·武汉模拟)二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )A．k<3B．k<3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0解析：∵二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，∴方程kx2－6x＋3＝0(k≠0)有实数根，即Δ＝36－12k≥0，k≤3.由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0.故选D.方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解(2015·苏州中考)若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( )A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,x2＝4))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝5))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝－5))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,x2＝5))解析：∵对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，∴－eq\f(b,2)＝2，解得b＝－4.解方程x2－4x＝5，解得x1＝－1，x2＝5.故选D.方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：用二次函数的图象求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(精确到0.1)．解析：对于y＝－x2＋2x－3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：x－1.1－1.2－1.3－1.4－1.5y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25 因此x≈－1.4是方程的一个实数根．(2)另一个根可以类似地求出：x3.13.23.33.43.5y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25 x≈3.4是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点三：二次函数与一元二次方程在运动轨迹中的应用某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面eq\f(20,9)米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的
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，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮框的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮框的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0，eq\f(20,9))，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－eq\f(1,9)(x－4)2＋4.将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－eq\f(1,9)(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.1．5 二次函数的应用第1课时 抛物线形二次函数1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策． 一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高eq\f(20,9)米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，eq\f(20,9))，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－eq\f(1,9)(x－4)2＋4.将点C的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x＝1代入解析式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题(2014·湖北潜江)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－eq\f(1,2)，∴y＝－eq\f(1,2)x2，当y＝－3时，－eq\f(1,2)x2＝－3，x＝±eq\r(6).故答案为2eq\r(6).方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－eq\f(1,12).所以此函数关系式为y＝－eq\f(1,12)(x－6)2＋6＝－eq\f(1,12)x2＋x＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－eq\f(1,12)m2＋m＋3)，D(m，－eq\f(1,12)m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－eq\f(1,12)m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－eq\f(1,12)m2＋m＋3)＝－eq\f(1,6)m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.第2课时二次函数与利润问题及几何问题1．掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(重点、难点)2．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题及图形中最大面积问题.一、情境导入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？合作探究探究点一：最大利润问题某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大最大利润是多少解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过(3，6)，(7，7)两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－24m＋n＝6，,49m－56m＋n＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,8)，,n＝\f(63,8).))∴y2的解析式为y2＝eq\f(1,8)x2－x＋eq\f(63,8)(1≤x≤12，x取整数)；(2)设y1＝kx＋b，∵函数y1的图象过(4，11)，(8，10)两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝11，,8k＋b＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,4)，,b＝12.))∴y1的解析式为y1＝－eq\f(1,4)x＋12(1≤x≤12，x取整数)．设这种水果每千克所获得的利润为w元．则w＝y1－y2＝(－eq\f(1,4)x＋12)－(eq\f(1,8)x2－x＋eq\f(63,8))＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(3,4)x＋eq\f(33,8)，∴w＝－eq\f(1,8)(x－3)2＋eq\f(21,4)(1≤x≤12，x取整数)，∴当x＝3时，w取最大值eq\f(21,4)，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是eq\f(21,4)元/千克．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点二：几何面积问题用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再根据矩形的面积公式列出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜1
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