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第七章重积分一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结思考题第一节二重积分的概念与性质复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？定积分答：求非均匀分布在区间上的量的问题.被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间答：“分割,作近似,求和,取极限”（3）如何计算定积分？现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的问题.推广所计算的量与多元函数及平面区域或空间区域有关.被积函数积分范围二元函数平面区域二重积分三元函数空间区域三重积分一段曲线曲线积分一片曲面曲面积分问题:积分类型柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.1．曲顶柱体的体积一、问题的提出——引例类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,作近似,求和,取极限”解法③求和：用n个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积:得曲顶柱体的体积④取极限：2．求平面薄片的质量⑴分割：把D任意分成n个小闭区域：⑵作近似：把小块曲面近似看作均匀薄片：分析=常数时，质量=·，其中为面积.为非常数时，仍可用“分割,作近似,求和,取极限”解决.两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,作近似,求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的概念1.定义(1)将区域D任意分成n个小区域:(2)任取一点是定义在有界闭区域D上的有界函数,表示第i个小闭区域，也表示它的面积．作乘积⑶求和⑷表示小闭区域的直径中的最大值，如果不论区域怎样划分以及怎样选取，极限积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作总存在，则称此极限为在闭区域D上的二重积分，，即3.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积.1)若表曲顶柱体体积的负值.2)若3)若表区域D的面积.几个特殊结果体积的代数和在物理上表示[注]根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D.故二重积分可写为D则直角坐标系下面积元素为即引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:性质4性质5性质5的推论(1)性质5的推论：（2）性质6性质7（定积分中值定理）积分中值公式性质1性质2（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分线性性质可以推广至有限个函数的情形.线性性质性质3对区域具有可加性性质4若为D的面积，性质5若在D上特殊地则有比较性质性质6性质7二重积分中值定理二重积分估值不等式曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积几何意义比较下列积分的大小:其中积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而区域D位从而于直线的上方,故在D上例1解Ⅰ例2解被积函数相同,且非负,由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:练习解[提示]被积函数相同，则比较区域D的大小.2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

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