自-4.4数据转换的理论基础 .

４．4数据转换的理论基础采样→时间离散量化→幅值离散编码→数字信号因此,采样、量化和数字信号所用的码制，作为数据转换的理论基础。一、采样采样过程就是用从原始函数“切割”出来的不连续函数代替原始连续的函数，只要满足一定条件，采样得到的不连续函数可以精确地描述原始连续函数。采样定理指示了这个条件。采样定理：一个频带限制在(０,fH)之内的在时间上连续的信号X　（t)，如果以fH(s)/2时间间隔对它进行等间隔的采样，则Ｘ(ｔ)将被所采样值完全确定。可以用理想的低通滤波器准确地恢复X(ｔ)。换句话说，为了能够准确恢复X(t)，采样频率至少应是Ｘ(t)中最高频率（ｆH）的两倍,ｆ≥2ｆＨmａx。证明如下:先讨论理想采样的情况：设X(t)为频率带限制在(0，ｆH)之内的信号,采样脉冲宽度为零，幅度为1。采样脉冲串以函数δT(t）代表,其周期为Ｔ，则采出信号函数为设X(t）、δT（ｔ)、Ｘ＊（ｔ）的频谱分别为X(ω）,δＴ(ω),X*（ω）,按照频率卷积定理，Ｘ(t）、δT(t)的傅立叶变换是X（ω)和δT(ω)的卷积,即而式中ωs=２π/T,则根据卷积关系式，则上式为上式表明X*(t）的频谱Ｘ＊(ω)是由无穷多个相互间隔为ωs的X(ω)叠加而成。因为X(ω)的谱宽为2ωH所以当ωｓ≥2ωH时，采出信号中的边带频谱互相不重叠，这意味让采集信号Ｘ＊（t)通过一个通带范围为0到fＨ的理想低通滤波器,即可以完全地重新获得X(ｔ)。作为必要条件，采样频率应为最高频率二倍或二倍以上。但是，上述的理想采样脉冲是不可能得到的,实际使用的采样脉冲总有一定宽度τ。有两种具体的采样方式：第一种是“模拟采样”。在采样脉冲τ期间,采出信号X*(t)真实地重现原始信号X（ｔ)，如下图4-9所示。τ　　　　　图4-9模拟采样示意图这种采样方式下，采出信号X＊(ｔ)的傅氏变换可写为:这一表达式说明，每个重复的频谱被乘上一个与n有关的常数因子。当n=>０时，该因子等于1。因此，在满足ωs≥2ωH时,X*(ω）频谱的中心部分并不失真。仍然可以用理想的低通滤波器重新获得X(ｔ)。第二种采样 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是“采样和保持”。在脉冲保持期间,采出信号Ｘ*(ｔ）幅度维持恒定不变,如下图４-10:τ　　　　图4-１0采样保持示意图这一采样过程相当于用理想采样脉冲采样，采出信号又通过一个脉冲形成电路。脉冲形成电路的脉宽为τ，增益为1，重复周期T。设脉冲形成电路的传输函数为H(ω)，则这种采样方式下,采出信号Ｘ*(t)的傅氏变换为：上式表明:满足ωｓ≥２ωＨ时，原是信号是可以恢复的，只是要让采出信号X*(t)首先通过一个传输函数为1/H（ω)的修正网络，使采出信号变为,然后经低通滤波器获得X(t）。注意：一般应选f=2.5fH。二、量化量化实际上是一种运算。在数字系统中，数字量是离散的，是用一个称为量子Ｑ的基本单位来度量的。例如一个n位二进制数码共有N=2ｎ个离散值，即预先规定有2n个电平,基本度量单位Q就等于满量程的1/2n。模拟量的量化就是读出模拟量有多少个Ｑ,并以2n个电平中最近似的一个来代替。右图４-1１表示量化过程的输入输出关系，特性是阶梯状,每个台阶宽度称为量化带。在理想的情况下,量化带就等于一个量子Q,输入模拟量的幅度在nQ与(n＋1)Q之间时，输出都以nＱ表示，这是以有限的量化值代替无限的模拟量的必然过程，其结果就存在着量化误差。量化误差ε小于量子Q，－Q/2<ε<+Ｑ/2　　图4-１１量化过程输入输出关系当输入模拟信号随时间而变化时,代表被量化了的信号将呈阶梯状,如下图4-12所示:图４-12随时间变化的量化特性显然误差ε(t)决定于量子电平Q和输入信号v(t)的电平。当量子电平与信号幅度相比足够小时,量化误差的影响可作为噪声考虑，称为量化噪声。量化噪声的频率与信号ｖ(t)曲线的斜率有关,相应于v(t)最大斜率的噪声频率决定于信号ｖ（t)频谱的最高频率。作为一次近似,量化噪声的静态分布可以认为是均匀的。误差ε(t）可按一系列在Q/２之间的斜率不同的线性段处理,如图4-13。图4-１3　误差分布示意图设为时间间隔-ｔ1到t2内直线段的斜率误差=t,则其均方差:由于量化噪声产生的信噪比为(**＊）式（***)中Ｖ为模拟信号电压满度值,因为Ｑ＝V／2ｎ故或　　　　　所以，二进制码的位数ｎ每增加一位，即量子Ｑ每减小一半，信噪比将改善６dB。上面讨论的是线性量化或叫均匀量化，在整个模拟输入满量程范围内,每个量化带都是相等的，等于量子Q＝Ｖ／２n。这种线性量化的缺点是当信号幅度变化时,信噪比也随着变化。信号小时，信噪比也减小,式（***)反映出这一问题。当信号小于满量程时,信噪比将比例于V2下降。为了克服这一缺点,可以采用非线性（非均匀）量化。一种方法是先对模拟信号进行非线性压缩,通常采用对数压缩，然后再进行均匀量化。在这种处理下，对于原始信号，量子Q不再恒定，信号大时量子电平大,信号小时量子电平小。在输入信号动态范围达3-4个数量级的情况下，可以得到恒定的信噪比。另一种方式则是直接使用对数量化器，如对数A/D转换器，这种方法在理论上是可行的，但所用器件未见商家出售。三、码制一个数可以用不同的计数制来表示，在计算机中，数采用二进制码，其规律为“逢二进一”。二进制的数也可以由许多位组成。数的最左端叫做最高有效位，以符号“MSB”表示,数的最右端位叫最低有效位,以“LSB”表示。　二进制的每一位有两个可能的状态“0”、“１”。二进制数的每一位的贡献为其右边一位贡献的两倍。码作为一个数，代表一个模拟变量，只有当码和码制间的相互关系被定义后,码才具体代表该模拟量的某一个量值。二进制码可以分成两大组：单极性二进制码，用以代表单一极性的模拟信号;双极性二进制码,用以代表极性交替的或正或负的模拟信号。（一)单极性码1．自然二进制码最普遍。它不仅编码操作方便,而且解码可逐位独立进行。在数据转换系统中,更常使用的是自然二进制分数码。在这种码制中,一个数N的量化电平可表示为:在二进制分数码中,当所有各位均为“1”时,其数值为（1-2-ｎ）,ｎ是位数。严格地说，二进制分数码。例如15／16，应写为0,1111,但是实际上几乎没有例外地都简单写成整数1111，默认了它的分数性质。一个电压V,如图用二进制分数码表示,首先要给预定度,给出一个刻度因子Vr，这样于是，二进制码就有了确切的意义,最低位LSＢ等于一个量子Q=Vr／2n,代表ｎ位二进制分数码所能分辨的最小模拟量。Vr是二进制码所能代表的满量程模拟电压Ｖｒ(1-２-n)。2.　二—十进制码（ＢＣD码）在数字电压表，面板表中，数子总是要用十进制形式显示出来,以便于人们读数。这种情况下二十进制码就有它的优越性。在BCD码中,每四位二进制成一组，用以代表十进制数中某一位的具体数字，每相邻的两个组依次为10倍加权，即组内逢二进一，组与组之间逢十进一。例如当一个电压Ｖ用BCD码表示时因为BCＤ码的每组代表十进制码中的一位，所以每一组可以相对独立的解码去驱动显示器，使解码电路简单易行。３.反射二进制码（格雷码)这种码制中的每一位的位置不再意味着数目的加权，而是从码的整体的每种状态对应于一定的模拟量。格雷码与自然二进制码有如下简单的逻辑关系,设自然二进制码MSＢ起各位为ａ1，ａ2,a3，…，aｉ或为0或为1,格雷码从ＭSB起各位为b１,b2,b３，…,bi或为0或为1，则b１＝a1，ｂ２=a１a2,b3＝a2a3,……a１=b1,a2＝a1b2,a３=a2b3，……符号“”是异或逻辑，当输入只有一个是“1”时输出为“1”否则为“0”，如图4-１4。图4－14格雷码与自然二进制码的逻辑关系示意图格雷码有什么特点呢?下表列出了格雷码前15个数的表示形式,见表４-1。表4－1　格雷码表自然二进制码格雷码十进制码00000０0000001０001１/1６0010001１２/1６00１1０0103/１６０100０11０4/160101０1１15/1601100101６/１60１1101007/１6100０110０８/16100111019/16１01011１11０／1６１011１１10１1/16110０10101２／１6１1０11011１3／１6１110１０0114/1６11１11０0015/16从表中很容易看出,当数值变化时,格雷码从一个码到下一个相邻码的改变,它的几位码中每次只有一位变化,而自然二进制码则可能有二位或二位以上同时变化。问题在于编码过程，上面讨论的各种码制每一位的0或1总是通过门电路产生,门电路的延时不可能绝对相同。例如模拟量从满量程的７/１6变成到8／16,模拟量经采样、量化、编码，使自然二进制码从“0111”变化为“１000”,就是说所有的位的状态全都改变,假设是高位的门电路延时短于其它各位,则有可能瞬时出现“１1１１”的错误状态,然后再变为“1000”的正确状态。而“1111”相应为Vmax15/16，于是在变化过程中，将产生一个瞬态效应——尖峰。如果采用格雷码,相邻的码制仅有一位有变化，无非是延时长短,其影响仅只一个LSB。（二）双极性码为了区别两个幅度相同而极性相反的信号，就要用双极性码。最常见的有符号—幅度码、偏移二进制码、2的补码和1的补码。１．符号幅度码在自然二进制码中增加符号位（MSB)以“0”代表正,“1”代表负。这种码制的优点是在零的上下变动1LSB时，代表幅度的码只有最低位改变,这意味着在零点附近不会产生严重的瞬态效应,其它的码制不行。缺点是代表0有两个码0+为000…0,０-为100…0。因此在数据处理应用时，数字接口较复杂，或者需要软件,或者需要附加设备。从数据转换角度看,符号—幅度码的转换器电路一般比其它双极性码复杂和冗长。2．偏移二进制码——转换电路最容易实现的双极性码制只要把输入的双极性模拟量偏移半个满量程值。缺点在0附近易产生瞬态尖峰3.　2的补码其正数完全是自然二进制码，负数则是取该正值的2的补数。也可以这样得到2的补码，把码的各位全部取补数然后加１LSB。例如＋３/8——>0０11　　　-３／8——>1100+1＝1101（2的补数运算则为10000-0011=1101）2的补码对于数字的代数运算是十分方便的，因为减法可以用加法运算例如：4/8-３/8为　０10０＋1101=0001(不考虑进位位）缺点与偏移二进制码相同。4．1的补码其正数完全是自然二进制码，负数则是是取该正数的1的补数,即所有各位均取补数例如　　　　+５/8——01０1　　-５／8——1０1０1的补码也可以以加代减,除了略去进位外,再需加１ＬSB。例如　　　4／8-3／８=010０+1100+０0０1=0００1１的补码除了零态有两重性外（即0０00，1111都代表零)。从数据转换的角度考虑,它不象2的补码那样容易实现。综上所述,在数据转换应用中,偏移二进制码最为常用，其电路最易实现,但极易转换成最适合于代数运算的２的补码,1的补码则很少被利用。