2020年高考数学(文)二轮专项复习专题07立体几何

专题07立体几何立体几何的知识是高中数学的主干内容之一，它主要研究简单空间几何体的位置和数量关系.本专题内容分为三部分：一是点、直线、平面之间的位置关系，二是简单空间几何体的结构，三是空间向量与立体几何.在本专题中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究；其后，我们复习空间几何体的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算；最后，我们通过空间向量的工具 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 有关线、面位置关系的一些命题，并解决线线、线面、面面的夹角问题.§7-1点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】.空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：①有公共点：相交，记作：aAb=A,其中特殊位置关系：两直线垂直相交.②无公共点：平行或异面.平行，记作：a//b.异面中特殊位置关系：异面垂直.(2)空间直线与平面：①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交.直线在平面内，记作：a.直线与平面相交，记作：an=A,其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交.②无公共点：直线与平面平行，记作：a//.(3)空间两个平面：①有公共点：相交，记作：n=l,其中特殊位置关系：两平面垂直相交.②无公共点：平行，记作：//..空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.②性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（3）我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：直坡"直线直线//平面T'平面//平面直线±直线.•宜城±平面・平面X平面【复习要求】.了解四个公理与等角定理；.理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.【例题分析】例1如图，在正方体ABCD—AiBiCiDi中，E,F分别是AB,AAi的中点.求证：（I）E、C、Di、F四点共面；（n）CE、DA、DiF三线共点.AE8P【分析】对于（I）中证明"E、C、Di、F四点共面”，可由这四点连接成两条直线，证明它们平行或相交即可；对于（II）中证明"CE、DA、DiF三线共点”，可证其中两条相交直线的交点位于第三条直线上.证明：（I）连接DiC、AiB、EF.-E,F分另是AB,AAi的中点，„_i…•EF//AiB,EF—AB，2又AiDi//BC,AiDi=BC,•AiDiCB是平行四边形.-AiB//DiC,EF//DiC,•・E、C、Di、F四点共面.i”（n）由（I）得EF//CDi,EF-CDi,2・・直线CE与直线DiF必相交，记CEADiF=P,.PCDiF平面AiADDi,PCCE平面ABCD,・•点P是平面AiADDi和平面ABCD的一个公共点.,・平面AiADDiA平面ABCD=AD,PCad,•.CE、DA、DiF三线共点.【评述】i、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据：（i）证明多点共面常用公理2及其推论；(2)证明多点共线常用公理3,即证明点在两个平面内，从而点在这两个平面的交线上；(3)证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内.2、证明a,b,c三线交于一点的主要依据：(1)证明a与b相交，c与b相交，再证明两交点重合；(2)先证明a与b相交于点P,再证明PCc.例2在四^锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M,N分别是AB,PC的中点，求证：MN//平面PAD.出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.证明：方法一，取PD中点E,连接AE,NE.••・底面ABCD是平行四边形，M,N分别是AB,PC的中点,……1”・•.MA//CD,MA-CD.2••・E是PD的中点，.一1”•.NE//CD,NE-CD.2.MA//NE,且MA=NE,.AENM是平行四边形，MN//AE.又AE平面PAD,MN平面PAD,.MN//平面FAD.方法二取CD中点F,连接MF,NF.••MF//AD,NF//PD,•・平面MNF//平面PAD,.MN//平面PAD.【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法:⑴证明线线平行：a"c,b“c,a//a,a3a//3a_La,b_LaaCl3=bna=a,n3=ba//ba//ba//ba//b(2)证明线面平行:aAa=a//ba//3ba,aaa3a//aa//aa//a(3)证明面面平行:aCl3=a//3,b//3a±a,a±3a//,3Ha,ba,aAb=Aa//3a//3a//3a//3例3在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AAi=AC,ABXAC,求证：AiC±BCi,【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明AiC垂直于经过BCi的平面即可.证明：连接ACi.'''ABC—AiBiCi是直三棱柱，，AAi,平面ABC,••ABXAAi.又AB±AC,.AB,平面AiACCi,•AiCXAB.①又AAi=AC,，侧面AiACCi是正方形，•AiCXACi.②由①，②得AiC,平面ABCi,•AiCXBCi.【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABLAC”都要将其向“线面垂直”进行转化.例4在三棱锥P-ABC中，平面PABL平面ABC,ABXBC,APIPB,求证：平面PAC，平面PBC.【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化.证明：•・平面PABL平面ABC,平面FABA平面ABC=AB,且ABXBC,・•・BC，平面PAB,•••APXBC.又APIPB,•.APL平面PBC,又AP平面PAC,•・平面PAC，平面PBC.【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法:⑴证明线线垂直：a±c,b//c,a±abaa±ba±b(1)证明线面垂直:a±m,a±na//b,b±aall[3,a，t3aX[3,aA0=lm,na,mCn=Aa[3,alla±aa±aa±aa±a(1)证明面面垂直:例5如图，在余三棱柱ABC—AiBiCi中，侧面AiABBi是菱形，且垂直于底面ABC,ZAiAB=60°,E,F分别是ABi,BC的中点.(I)求证：直线EF//平面AiACCi;(II)在线段AB上确定一点G,使平面EFGL平面ABC,并给出证明.证明：(I)连接AiC,AiE...•侧面AiABBi是菱形，E是ABi的中点，・•.E也是AiB的中点，又F是BC的中点，，EF//AiC.■AiC平面AiACCi,EF平面AiACCi,•・・直线EF//平面AiACCi.(2)解：当"G1时，平面EFGL平面ABC,证明如下：GA3连接EG,FG...•侧面AiABBi是菱形，且/AiAB=60°,AiAB是等边三角形.一，一「BGi・•・E是AiB的中点，——-,EGXAB.GA3「平面AiABBi，平面ABC,且平面AiABBin平面ABC=AB「•EG，平面ABC.又EG平面EFG,•,・平面EFG，平面ABC.练习7—1、选择题:1.已知m,n是两条不同直线,是三个不同平面，下列命题中正确的是()(B)若m，,n±(D)若m//,m//(A)若m//,n//，则m//nTOC\o"1-5"\h\z(C)若±,，，则//2.已知直线m,n和平面(A)n±(C)n±,且m±n,m±,，，则((B)n//，或n(D)n//，或n.设a,b是两条直线，、是两个平面，则a^b的一个充分条件是()(A)a±,b//,±(B)a±,b±,//(C)a,b±,//(D)a,b//,±.设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()(A)在平面内有且只有一条直线与直线m垂直(B)过直线m有且只有一个平面与平面垂直(C)与直线m垂直的直线不可能与平面平行(D)与直线m平行的平面不可能与平面垂直二、填空题：.在三棱锥P—ABC中，PAPBJ6,平面PABL平面ABC,PAXPB,ABXBC,/BAC=30°,贝UPC=..在直四棱柱ABCD—AiBiCiDi中，当底面ABCD满足条件时，有AiC±BiDi.(只要求写出一种条件即可).设，是两个不同的平面，m,n是平面，之外的两条不同直线，给出四个论断：①m,n②±③n，④m，以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题..已知平面，平面，n=l,点AC,Al,直线AB//l,直线AC±l,直线m//,m//,给出下列四种位置：①AB//m；②AC，m；③AB//;@AC±,上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是.三、解答题：.如图，三棱锥P—ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M,N分别为PA,BC的中点.(I)求MN的长；(II)求证：PAXBC..如图，在四面体ABCD中，CB=CD,ADXBD,且E、F分别是AB、BD的中点.求证：(I)直线EF//平面ACD;(II)平面EFCL平面BCD..如图，平面ABEFL平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，/BAD=/FAB。_11一=90,BC//AD,BC—AD,BE〃AF,BE—AF,G,H分别为FA,FD的中点.22(I)证明：四边形BCHG是平行四边形；(n)C,D,F,E四点是否共面？为什么？(m)i^AB=BE,证明：平面ADEL平面CDE.—2空间几何体的结构【知识要点】.简单空间几何体的基本概念:韵堤与底面耳垂H始3tH⑴校拄-斜棱柱1■晚与底血前贡„底瓦是正者劝帮十3户<£雄柱*正棱柱.(2)特殊的四棱柱:人一底面是不行凶也够工Hj健检与底曲藤宜上底面是姐盛校柱-———平行六面体''►直平打六面体-长方休^正四棱柱►正力体(3)其他空间几何体的基本概念:几何体基本概念正棱锥底向是止多面形，并且顶点在底向的射影是底向的中心正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台圆柱以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转』形成的曲面围成的几何体圆锥以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转』形成的曲面围成的几何体圆台以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体球面半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面球球面所围成的几何体2.简单空间几何体的基本性质:几何体性质补充说明棱柱(i)侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)两个底向与平行于底向的故囿是全等的多边形(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形(i)直棱柱的侧棱长与图相等，侧面及对角面都是矩形(2)长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和正棱锥(i)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形球(i)球心和球的截面圆心的连线垂直于截回(2)球心到截面的距离d,球的半径R,面圆的半径r满足rJr2d2(i)过球心的截面叫球的大圆，不过球心的截面叫球的小圆(2)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(两点的球面距离).简单几何体的三视图与直观图：(1)平行投影：①概念：如图，已知图形F,直线l与平面相交，过F上任意一点M作直线MMi平行于1,交平面于点Mi,则点Mi叫做点M在平面内关于直线l的平行投影.如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形Fi,则Fi叫图形F在内关于直线l的平行投影.平面叫投射面，直线l叫投射线.②平行投影的性质：性质1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段；性质2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线；性质3.平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；性质4.与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；性质5.在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.(2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图.(3)三视图：正视图左视困僻视窗①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影.②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面.若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图.将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图.③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”.简单几何体的表面积与体积：(1)柱体、锥体、台体和球的表面积：①S直棱柱侧面积=ch,其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高.②S正棱锥形面和1ch,其中c为底面多边形的周长，hz为正棱锥的斜高・21,③S正棱台侧面积一(cc)h,其中c,c分力1J是梭台的上、下底面周长，hz为正梭台2的斜高.④S圆柱侧面积=2Rh,其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高.⑤S圆锥侧面积=Rl,其中R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长.⑥S球=4R2,其中R是球的半径.(2)柱体、锥体、台体和球的体积：①V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.…1-一-②V锥体-Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的局.③V台体1h(S0.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四棱柱，求a的取值范围.个三棱柱的表面积均是2x6a2+6+8+10=12a2+24.情形①：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为:2X(12a2+24)—2X6a2=12a2+48.情形②：将两个直三棱柱的侧面ABBiAi重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2X(12a2+24)—2X8=24a2+32.情形③：将两个直三棱柱的侧面ACCiAi重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2X(12a2+24)—2X6=24a2+36.情形④：将两个直三棱柱的侧面BCCiBi重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为：2X(i2a2+24)—2Xi0=24a2+28在以上四种情形中，②、③的结果都比④大，所以表面积最小的情形只能在①、④中产5依题意“表面积最小的一个是四棱柱”，得24a2+28 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 练习7-1一、选择题：1.B2.D3.C4.B二、填空题：5.而6.AC，BD(或能得出此结论的其他条件)7.②、③、④三、解答题：①；或①、③、④②8.④.(I)解：连接MB,MC.••三棱锥P-ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，、3MBMC%,且底面△ABC也是边长为1的等边三角形.N为BC的中点，，MNXBC.一22.2在Rt^MNB中，MNVMB2BN2~2(n)证明：:M是pa的中点，••RAXMB,同理PAXMC..MBnMC=M,•.PAL平面MBC,又BC平面MBC,PAXBC..证明：(I).「E、F分别是AB、BD的中点，・•.EF是△ABD的中位线，EF//AD.又EF平面ACD,AD平面ACD,直线EF//平面ACD.(n)vEF//AD,AD±BD,，EF，BD.,.CB=CD,F是BD的中点，，CFXBD.•.CFAEF=F,..BD，平面CEF.・•・BD平面BCD,「.平面EFC，平面BCD.B，口…111.(I)由题意知，FG=GA,FH=HD,..GH//AD,GH-AD,2一,“1…又BC//AD,BC—AD,GH//BC,GH=BC,2，四边形BCHG是平行四边形.（n）C,D,F,E四点共面.理由如下：一由BE//AF,BF-AF,G是FA的中点，得BE//FG,且BE=FG.「.EF//BG.由（I）知BG//CH，.二EF//CH,故EC,FH共面，又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.（出）连结EG,由AB=BE,BE//AG,BE=AG及/BAG=90°,知ABEG是正方形，故BGXEA.由题设知FA,AD,AB两两垂直，故AD,平面FABE,BGXAD.•.BG,平面EAD,BGXED.又EDAEA=E,，BG，平面ADF.由（I）知CH//BG,CHL平面ADE.由（n）知FC平面CDE,故CH平面CDE,得平面ADE，平面CDE.练习7-2一、选择题：TOC\o"1-5"\h\z1.B2,D3.D4.C二、填空题：HYPERLINK\l"bookmark24"\o"CurrentDocument"2J24冗HYPERLINK\l"bookmark98"\o"CurrentDocument"5.456.12-7.—.答案不唯一，如“两组相对侧面分别平行”；“一组相对侧面平行且全等”；“对角线交于一点”；“底面是平行四边形”等.三、解答题：.证明：（I）设ACnBD=O,连结OE.••.E是DDi的中点，。是BD的中点，，OE//BD1.又OE平面ACE,BD1平面ACE,BD1//平面ACE.（n），「ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，，底面ABCD是正方形，AC±BD.又DiDL平面ABCD,ACXDiD,•.AC,平面BiBDDi,1.AC平面ACE,••・平面ACE,平面BiBDDi.10.解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥P-ABCD.11__八(I)V-Sh—(86)464.TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark30"\o"CurrentDocument"33(n)该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为：h1=4也另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2.42(-)25,HYPERLINK\l"bookmark28"\o"CurrentDocument"22因此S2(-642-85)40242.HYPERLINK\l"bookmark14"\o"CurrentDocument"2211.(I)证明：在DD1上取一点N使得DN=1,连接CN,EN,显然四边形CFD〔N是平行四边形，，DF//CN.同理四边形DNEA是平行四边形，，EN//AD,且EN=AD.又BC//AD,且BC=AD,EN//BC,且EN=BC,••・四边形CNEB是平行四边形，，CN//BE,••D1F//BE,E,B,F,D1四点共面.2MBBGn.MB3(II)•••GMXBF,BCF^AMBG,「•————，即——-3,•.MB=1.BCCF32•.AE=1,二.四边形ABME是矩形，EMXBB1.又平面ABB1A1,平面BCC1B1,且EM平面ABB1A1,EM，平面BCC1B1.cGB习题7一、选择题：1.D2.B3.A4.B5.B二、填空题：6.24.37.-8.99.510.①、②、③4三、解答题：11.（I）证明：.「ABC—AiBiCi是正三棱柱，，BBi,平面ABC,・•・平面BB1C1C，平面ABC.・•,正4ABC中，D是BC的中点，，AD±BC,AD，平面••.ADXB1D.BB1C1C,（n）解：连接A1B,设A1BAAB—E,连接DE.AB=AA1,四边形A1ABB1是正方形,「•E是A1B的中点，又D是BC的中点，，DE//A1C..DE平面A1BD,A1C平面A〔BD,，A1C//平面A〔BD.（出）解：建立空间直角坐标系，设AB=AA1=1,…，3―1…则D（0，0，0），A（0，0，0）旧（2，0，1）设n1=（p,q,r）是平面A〔BD的一个法向量,则n〔AD0,且n〔BQ0,一31八故—q0,-Pr0.取r=1,得ni=(2,0,1).22(.3,1,0).n1n2.15|1|凡|~5~15丁同理，可求得平面ABiB的法向量是n2设二面角B—ABi—D大小为，:cos，二面角B—ABi—D的平面角余弦值为(I)•••FAXAB,ABXAC,•.ABL平面PAC,故ABLPC.•.PA=AC=2,M为PC的中点，MALPC...PC,平面MAB,又PC平面PCB,「.平面PCBL平面MAB.C11~'C(n)RtAPAB的面积S-PAAB1.RtAPAC的面积S2-PAAC2.22RtAABC的面积S3=S1=1.△PAB^ACAB,PB=CB,・•.△PCB的面积S41PCMB12j23366.22，三棱锥P—ABC的表面积为S=S1+S2+S3+S4=4J6.PB(I).「ABC—A1B1C1是直三棱柱,BB1,平面A1B1C1,B1B±A1B1.又B1C1，A1B1,•.A1B1,平面BCC1B1,BC1±A1B1.•.BB1=CB=2,•.BC1，B1C,•.BC1,平面A1B1C.(n)连接A1B,由M、N分别为A1C1、BC1的中点，得MN//A1B,又A1B平面A1ABB1,MN平面A1ABB1,•.MN//平面A1ABB1.(出)取C1B1中点H,连结MH..M是A1C1的中点，，MH//A1B1,又A1B1,平面BCC1B1,MHL平面BCC1B1,MH是三棱锥M—BC1B1的高,一,…1_1••・二棱锥M—BC1B1的体积V—SBCBMH—33—41—2314.如图建立空间直角坐标系，设A(d2,0,0),则B(J2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).dSMMC(0),…22一一22、则M(0,——,——),BM(2,——,——),1111又BA(0,2,0),BA,BM60.故BM.BA|BM||BA|cos60,即4J(J2)2(产)2(户)2,解得=1...M是侧棱SC的中点.(n)由M(01,1),A(M2,0m，一一，211、0）得AM的中点G（—5-,一,一）222又GB.231、-(亏，一，),MS222(0,1,1),AM(.2,1,1),GBAM0,MSAM0,GBAM,MSAM,cos〈GB,MS＞等于二面角s—AM—B的平面角.GBMS.6cos(GB,MS)：~z~,|GB||MS|36即二面角S-AM-B的平面角的余弦值是———