2016年普通高等学校招生全国统一考试数学文试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(山东卷)本试卷分第I卷和第U卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1•答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。第U卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。填空题直接填写答案，解答题应写出文字
说明
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、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.设集合U{1,2,3,4,5,6},A{1,3,5},B{3,4,5}，贝V$(AUB)=(A){2,6}(B){3,6}(C){1,3,4,5}(D){1,2,4,6}【答案】A【帧试SB
分析
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：由Gia,J^£={13T5}^-{3J415}={l13i415},所以Q={2上儿选A.考点：集合的运算若复数z，其中i为虚数单位，则z=1i(A)1+i(B)1-i(C)-1+i(D)-1-i【答案】B【解析】2试题分析：z1i2(1D…一「选B1i,z1i，选B.(1i)(1i)考点：1•复数的运算；2•复数的概念.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是［17.5，30］，样本数据分组为［17.5，20），［20,22.5），［22.5,25），［25，27.5），［27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（D）140【解析】试题分析：由频率分布直方图知，目习时间不少于-23淞寸的^200x（0.16+0054-0.04）x2.5=140,选D.考点：频率分布直方图xy2,（4）若变量x，y满足2x3y9,则x2+y2的最大值是x0,（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A（3,-1）到原点距离最大，所以22（xy）max10，选C.V*\y=2fx■\卜比VIQ\\且3亠1〕X£2x-3v=9N1\考点：简单线性规划•则该几何体的体积为一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示（A）V242+(C)—+n(D)1+n66【答案】C【解析】试题分析：由已知，半球的直径为2，正四棱锥的底面边长为1,高为n（B）1+-2n1,所以其体积为3333考点：1•三视图；2•几何体的体积.已知直线a,b分别在两个不同的平面a,b内，贝U直线a和直线b相交”是平面a和平面b相交”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试題分折：慎线盘和直线A相交"=>“平面山和平面尸相交匚1旦“平面梆和平面尸相交”声『虫线◎和直线占相交3所以"直线衣和直线占相交”S"平面空和平面/?相交”的充分不必晏条件J故选A_考点：1•充要条件；2•直线与平面的位置关系•已知圆M:x2+y-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，则圆M与圆N:22(x-1)+(y-1)=1的位置关系是(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离【答案】B【解析】试题分析：22222由xy2ay0(a0)得xyaa(a0)，所以圆的圆心为0,a，半径为”a,因为圆截直线xy0所得线段的长度是2、迈，所以da222，解得a2，圆的Y2圆心为1,1，半径为「21，所以IIJ012212,A「23,r1a1，因为*「2「1「2，所以圆与圆相交，故选B.考点：1•直线与圆的位置关系；2•圆与圆的位置关系•△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),贝VA=(A)3n(B)【答案】C【解析】试题分祈；由余弦走理得：a'=+£"—2beco^A=lb*—2£TA=2^j"11—cosA)；因为夕=2A*(1—5JnAj?rr所汰cosA=sin.Af因为cos.4.芒0,所I次tan盘二1』因为AG(0,記)』所以A二f故迭C,4考点：余弦定理(9)已知函数11f(x)的定义域为R.当xv0时，f(x)=x3-1;当-1
时，f(x+)=f(x22―—).则f(6)=2(A)-2(B)-1(C)0(D)2【答案】D【解析】试题分析：当X1时,1f(x)f(x1-)，1所以当x—时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以2222f(6)f(1)，又因为当1x1时，fxfx，所以f(1)f(1)3112，故选D.考点：1.函数的周期性；2.分段函数.(10)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(A)ysinx(B)ylnx(C)yex3(d)yx【答案】A【解析】试题分析：当ysinx时，ycosx，cos0cos1,所以在函数ysinx图象存在两点x0,x使条件成立，故A正确；函数yInx,yex,y3x的导数值均非负，不符合题意，故选A.考点：1•导数的计算；2•导数的几何意义.第II卷(共100分)、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分【答案】1【解析】试題片析：搜程序运行的过程，运行一遍稈序；“和丸$=0；^=^2-1,循环’—左7,猜环「?=3^=V4-1=1?退出循环，输出考点：程序框图(12)观察下列等式:n(sinn2n(sin!")2n(sin)53n(SinL4n24(siny323；(sinn)(sin琴)n(%)2n(sin6)3n(Sin&)6冗)24(sin34;7)38n24(sin)—45;93仃刀([/_Lirtz-hn22n23n22nn2照此规律，(sin)(sin)(sin)(sin).n12n12n12n14【答案】4nn13试题分析：通过类比，可1能现，最前面的数字罡”接下来是和项数有关的两项的乘积，即贸用十1)」故答秦为TOC\o"1-5"\h\z4,3'7考点：合情推理与演绎推理已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a丄(ta+b)，则实数t的值为.【答案】5【解析】试题分析：rrrrrtab6t,4t,taba6t,4t1,12t100，解得t5考点：平面向量的数量积x2v2已知双曲线E:飞--=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上，AB,CD的中点为E的ab两个焦点，且2AB|=3|BC|,贝UE的离心率是【答案】2【解析】试题分析：依题意，不妨设AB6,AD4作出图像如下图所示c2则2c4,c2;2aDF2DF1532,a1,故离心率一一2a1考点：双曲线的几何性质TOC\o"1-5"\h\zx,xm,,亠已知函数f(x)=2其中m>0.右存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不x2mx4m,xm,同的根，则m的取值范围是.【答案】3,【解析】试题分析：画出函数图像如下图所示:——1f■1■—1/二AC%1111111乓||111II1111111111111V—1111111nrwiirr11Illi由图所示，要fxb有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即mm22mm4m,m23m0，解得m3考点：函数的图像与性质，数形结合，分段函数三、解答题：本大题共6小题，共75分（16）（本小题满分12分）每次转动后,某儿童乐园在六一”儿童节退出了一项趣味活动•参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数•设两次记录的数分别为x，y•奖励
规则
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如下:若xy3，则奖励玩具一个;若xy8，则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶•假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀•小亮准备参加此项活动（I）求小亮获得玩具的概率；（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由5【答案】（）Z.（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率•16【解析】试題分析，用数対（益巧
表
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示儿童養扣活动先后记录的数，写出基本事件空间。与点集5二{（兀y）|x€.V1JeAM^x^41l记“疋仝为事件月吨左为事件（？・知事件R包含的基本事件共有百个』得到P（B'\=-=-.168事件C包含的基本事件扶有5个，得到PiC）=4-16比较即知.|试题解析：用数对x,y表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集Sx,y|xN,yN,1x4,1y4对应.因为S中元素个数是4416,所以基本事件总数为n16.（）记“xy3”为事件A.则事件A包含的基本事件共有5个，即1,1,1,2,1,3,2,1,3,1,TOC\o"1-5"\h\z5所以，PA,即小亮获得玩具的概率为HYPERLINK\l"bookmark33"\o"CurrentDocument"1616（）记“xy8”为事件B，“3xy8”为事件C.则事件B包含的基本事件共有6个，即2,4,3,3,3,44,2,4,3,4,4,3HYPERLINK\l"bookmark24"\o"CurrentDocument"所以，PB.168则事件C包含的基本事件共有5个，即1,4,2,2,2,3,3,2,4,1,5所以，PC—.16因为3—,816所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率考点：古典概型(本小题满分12分)设f(x)2,3sin(nx)sinx(sinxcosx)2.(I)求f(X)得单调递增区间;2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移(II)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(n)的值.6【答案】()fx的单调递增区间是k,k125kZ,(或(k,k1212【解析】试題分析：(I)化简/W巧血1丁-尤)血工一(&2-8词2得f(x)=2sin由3海-工eZ)抿卩得三J■J.A-写出门阳的单调递增区间一织+击—1.平移后得ff(x)=2sin.v+73-l•进一^可得gj■■试题解析：(!)宙/(X)=2^5sin(xlsinx-(sincos=2^3sin4,a-i1-2sinxcqsx"1-cos2x)+siti2Jr-1A,=siny—由2k22x32k2kZ，得k12所以,5x的单调递增区间是k——k—kZ12’12'5（或（k巨k石）kZ）(II)由⑴=2sin2把＞=/（X）的團象上所有点的横坐标伸长到辱来的2倍（纵坐标不变片得到y==2sinX——1的團象,弓丿再把得到的图象向左平移t个单位』得到F=2血X+的-1的图象,艮卩宣〔盂）=2sinx亠侖一1.所以.考点:1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质(18)（本小题满分12分）D是AC的中点，EF//DB.在如图所示的几何体中，(I)已知AB=BC,AE=EC.求证：AC丄FB;（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH//平面ABC.【答案】（I））证明：见解析；（n）见解析.【解析】试题分析：（I））根据EF//BD，知EF与BD确定一个平面，连接DE，得到DEAC,BDAC,从而AC平面BDEF，证得ACFB.EHBA'(bnbib2(Il)令b2b33n1Tn3n2n2考点：1.平行关系；2.垂直关系.（19）（本小题满分12分）2已知数列an的前n项和Sn3n8n,bn是等差数列，且a.bbni.（I）求数列bn的通项公式;【解析】的中点为八连GW在2EF°乂网礼宙三角形中位线定理可得绒线平行「证得平面GHI7平面ABC、进一步得到GH'平面试题解析；（I刀证明：因EF■'/3Dt所以EF与ED确走一个平面』连接^AE^EC.E^AC的中点#所以DE-JC;同理可得BD-AC，又因为BD-DE二D,所U平面BDEF,因为FBu平面BDEF?AC丄FB（II>ig^C的中点为匚连GLHI?在SCEF中」G是CE的中点，所以y_EF!!D^f所次；在岂匚刊中，廿是用的中直，所以又曲门屈二』，所以平面GHIH平面YBC,因対GH-平面GHI」所決GH平面ABC。*•求数列2）nCn的前n项和Tn.【答案】（I）bn试题分析：（I）由题意得a2，解得b14,d3，得到bn3n1。(II)由]I)知匚二二3(曲+1)：2小，从而人=3[2x22+3x25+4x24+--+(»+1)2^]利用『'错世瞞法」'即得兀=3克2沁仁和辭，｛丨】；•:>2H--fir—、->=金」••:::二：讨r：=5=11!衍|.!•.门=26=自+饬[11=2d.设数列的公差为几由彳t:，印J“■.汀解之得®=4卫=3,所決久=%十4G=:占r+佻[1/=Ja+Cll)由〔1〉知。二(6杠+6)二賢科+1卜2»1,又匚二5+G+勺+…+“，即⑶十奪7；=3[2x21+3x2a+4其2°+…珂科+1)2“],所以母=3p«23+3x24+4x25+■■^(n+1)2*2],以上两式两边相减得-T,y=3[2x22+23+24+…+2聞一仍+1卫[从*(卅#1)2羁]=一3宛2心°2-1所次G=考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的求和；3•“错位相减法”•(20)(本小题满分13分)设f(x)=xlnx~ax2+(2a-1)x,a€R.(I)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间；(n)已知f(x)在x=1处取得极大值•求实数a的取值范围.TOC\o"1-5"\h\z【答案】(I)当a0时，函数gx单调递增区间为0,；11当a0时，函数gx单调递增区间为0,——，单调递减区间为——,.2a2a1(n)a.2【解析】试题分析：(I)求导数f'xInx2ax2a,TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark41"\o"CurrentDocument"可得gxInx2ax2a,x0,,1^12ax从而g'x2a讨论当a0时，当a0时的两种情况即得i1（n）由（I）知，f'10.分以下情况讨论：①当a0时，②当0a—时，③当a—时，④当a-22时，综合即得.试题解析：⑴由f盗+也可得就I工1=1口口丫兀丘10,+x|,n,x1气1一2心则百（兀）二一一2口=、xx丸“皿）时」0；函数何⑴单调递增J当“附施乜丄诃，瓷心1沁，團数刃旧单调递詹I加丿X巴；丄一+X■阴，了⑴“，函数宕（尤）单调通减'2dX-J所以当口弐时，函数区（对单调递増区间为（65当Q0时，函数占任）单调递増区间为卩丄I单调递海区间为丄严卜2aJ2aJ（n）由（I）知，f'10.①当a0时，f'x0,fx单调递减•所以当x0,1时，f'x0,fx单调递减当x1,时，f'x0，fx单调递增•所以fx在x=1处取得极小值，不合题意.111②当0a—时，1，由（I）知f'x在0,内单调递增,22a2a可得SSxepJiQ寸，广（x）V兀Ji丄:时j、A}所以/（Q在《U吶MWJJi在;1二［內里调递增，、、Jf7■\J所以/（X）在X<处収得极小值，不合題意.③当时，即「二1时，厂（巧在⑪D内单调递増，在I1-FXJ内单调递城’2la所/^）<0,/（"单调递鬲不合題意・寸，即*丄丈1，当工』丄』时，『⑴单惆速增，22b>0）的长轴长为4，焦距为2一.（I）求椭圆C的方程；（II）过动点M（O,m）（m>0）的直线交x轴与点N，交C于点A,P（P在第一象限），且M是线段PN的中点•过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长线QM交C于点B.（i）设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值•（ii）求直线AB的斜率的最小值226【答案】(I)二£1.(n)(i)见解析；(ii)直线AB的斜率的最小值为—422【解析】试题分析：([)分別计算企b即得.(II)(i)设列兀決)(码>O,vo>0)j由M(0,>)r可得fQIx-.-2n得到直线珊的斜率k=—m战—7直线Q)(的斜率比=□一竺证得.(ii)设上(码’珀』帆宀｝,直线PA的方■程为直线⑭的方程为产-弘+•整寸里彳寻]2k1+1|2岀：-4=0,应用元二次方程根与系数的关系得到X2X12m2*42218k1x02m222k21x02232km222‘18k12k1X)6km22*2y118k21x02m222k21Xom2222‘18k12k1x08k6k21得到kAB讨2*6k2x2x114k6k应用基本不等式即得.试题解析：(I)设椭圆的半焦距为由题意知2a4,2c22，所以a2,b.a2c2、2，所以椭圆(n)(i)设Pxo,yoxo0,y0,由M(0,m)，可得Px0,2m,Qx0,2m.所以直线PM的斜率k2mmX。mX。直线QM的斜率k'2mmx°3mx°k'此时-3,k所以£为定值-3.k(ii)设/庖线PA的方程期乎菠刑直线QB的方程为严业工顷.v=联立<卫「—+—=1L42整理得（2f-ll^2d—4=CL所以Ji=m=同理吃2|/—2)IISV+l)x;所以x2x-i32k2m2218k212k21x02m222m2218k21x02k21x06km222m2228k6k1m2218k21mx°2m2k21x°18k212k21X°Y2Y1所以kAB6k211c16k4k4ky2*X2X1由?k>0:r;>0,可知k>ij.,所次磺+2"石，等号当且仅当^=—时取得.k6此时』阳、=^~,即w=上纟王,符号H蕙.寸4—8叮6所以直线阴的斜率的最小值为当・考点：1•椭圆的标准方程及其几何性质；2•直线与椭圆的位置关系；3•基本不等式22c的方程为—y4
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