九章算术中的立体几何

《九章算术》中的立体几何《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名•刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。《九章算术》是一部问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 集，全 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 分为九章，共收有246个问题，每题都有问、答、术三部分组成。 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。卷第五“商功”第25题作为2015年全国卷（1）（文理）第6题,通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。题目是：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（解法见例25）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系.《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下，供参考。【例1】今有穿地积一万尺•问为坚、壤各几何？【注释】穿地：挖地取土•坚：坚实的土•壤：松软的土•【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述•【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法.【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向【译文】现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺.问这段城的体积是多少?【解析】本题是求水平放置的直四棱柱的体积如图，底面为等腰梯形，上底a20尺，下底b40尺，高h50尺，侧棱I1265尺，所求体积1897500(ab)h|(2040)5021265【例3】今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸•问积几何?【注释】垣：低矮的墙.【译文】现有矮墙下底长3尺，上底长2尺，高1丈2尺，纵长22丈5尺8寸.问这段矮墙的体积是多少？【例4】今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一^二丈七尺•问积几何？【译文】现有坝堤下底长2丈，上底长8尺，高4尺，纵长12丈7尺.问这段坝堤的体积是多少？【例5】今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈•问积几何？【译文】现有沟，上底长1丈5尺，下底长1丈，高5尺，纵长7丈.问这段沟的容积是多少？【例6】今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一^三丈二尺一寸.问积几何？【注释】堑：护城河【译文】现有护城河上底长1丈6尺3寸，下底长1丈，深6尺3寸，纵长13丈2尺1寸.问这段护城河的容积是多少？【例7】今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺.问积几何？【译文】现挖渠上底长1丈8尺，下底长3尺6寸,深1丈8尺，纵长5万1千8百24尺.问这段渠的容积是多少？【例8】今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺.问积几何？【注释】堡壔:土筑小城.方堡壔：正四棱柱形的土筑小城堡.【译文】现有正四棱柱形的土筑小城堡，底面边长为1丈6尺，高1丈5尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱柱的体积.底面正方形，边长a16尺，高h15尺，所求体积VShaah1616153840立方尺.【例9】今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？【注释】圆堡壔：圆柱形的土筑小城堡.【译文】现有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少?【解析】本题是求圆柱的体积.设底面圆的半径为r，周长c,高h，因为c2r,所以r円则所求体积VShr孚248112112（取3）立方12尺•.问积几何?【例10】今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈【注释】方亭：正四棱台形建筑物•【译文】现有正四棱台形的建筑物，下底面正方形的边长为5丈，上底面正方形的边长为4丈，高为5丈.问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱台的体积.设上底边长为a，上底面的面积为S1,下底边1长为b,下底面的面积为S2,高h，则所求体积V-h(3S2、亦)，3122305亠(abab)h立方丈.33对于公式V1h(S1S2.S瓦)适用所有棱台或圆台计算体积.【例11】今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何？【注释】圆亭：圆台形建筑物.【译文】现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈,高为1丈.问它的体积是多少？【解析】本题是求圆台的体积.设上底面圆的半径为r，周长为C12r,面积Sr12，下底面圆的半径为R,周长为C22R,面积为S2R2,高h.对于圆1台，可以用上下底圆的面积面与高 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为：V-h(ES2.S^)，也可用上31下底面圆的半径与高表示：V-h(r2R2rR),也可用上下底面圆的周长与319高表示V——h(C12C22C1C2),所求体积为V——立方丈.1212【例12】今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？【注释】方锥：正四棱锥.【译文】现有正四棱锥，下底面正方形的边长为2丈7尺，高为2丈9尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱锥的体积.设底面正方形边长为a,高为h.1VSh272297047立方尺.33【例13】今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺•问积几何？【译文】现有圆锥,下底面圆的周长为3丈5尺，高为5丈1尺•问它的体积是多少？【解析】本题是求圆锥的体积.设底面半径为r,高为h.底面周长C2r,底面22TOC\o"1-5"\h\z积°2C112.1/C、2.Ch62475亠积Sr,于疋体积、VShrh（）h立433321212方尺.【例14】今有堑堵下广二丈，袤一^八丈六尺，高二丈五尺【注释】堑堵：底面是直角三角形直三棱柱.【译文】现有底面是直角三角形直三棱柱，底面直角三角形的两条直角边宽为2丈，长为18丈6尺.高为2丈5尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求直三棱柱的体积.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面ABC，ACBC.设底面直角ABC的边ACa20,BCb186,高为hAA125.体积11VSh—abh—201862546500立方尺.2【例15】今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何?【注释】阳马：底面是矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥【译文】现有底面是矩形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥,底面宽为5尺，长为7尺，高为8尺，问它的体积是多少?【解析】本题是求四棱锥的体积.如图所示，在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形，侧棱PA平面ABCD,设底面矩形的宽为a5,长为b7,高为h8.体积V〔Sh1abh1578型立方尺.333【例16】今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺.问积几何？【注释】鳖臑:四面都是直角三角形的四棱锥.【译文】现有四面都是直角三角形的三棱锥，底宽5尺而无长，上底长4尺而无宽，高7尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求三棱锥的体积.如图⑴，在三棱锥SABC中，SA底面ABC,ACBC.图（2）、（3）是图（1）的不同视觉放置下的直观图图(1)SSTOC\o"1-5"\h\z1111根据题意，a5,b4,咼为h7.体积VShahb574333270亠立方尺.3【例17】今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？【注释】羡除：墓道.三个侧面为等腰梯形，其余两个面为直角三角形的五面体.【译文】现有三个侧面都为等腰梯形，其他两面为直角三角形的五面体，下宽6尺，上宽1丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺•问它的体积是多少？【解析】本题是求规则形状的五面体的体积.如图，五面体EFABCD中,四边形ADEF,ABCD,EFBC均为等腰梯形，EF//AD//BC.ABF,CDE均为直角三角形，ABAF,CDDE.设下广EFa，上广ADb，末广BCc.高:EF到平面ABCD的距离为h，长：AD与BC的距离I.1算法：V—(abc)h丨6采用割的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 推导计算公式.连接BE，BD,AE,如图2,得三个三棱锥，设三棱锥BAEF的体积为V1,三棱锥BAED的体积为V2,三棱锥BDEC的体积为V3,则V3—clh，V2—blh，V1—，V1—V2,所以V|—V2—alh,于是五面体的66V2abb61体积公式VVV2V3-(abc)hI.代入数据a6,b10,c8,6I7,h3，代入公式得V84立方尺.【例18】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈•问积几何?【注释】刍甍：盖上草的屋脊•刍：草；甍：屋脊•这里指底面为长方形的屋脊状的楔体.【译文】现有底面为长方形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈,无宽，高1丈，问它的体积是多少？【解析】本题是求底面为长方形的楔体(五面体)的体积.如图所示，在五面体EFABCD中，EF//底面ABCD,底面ABCD是长方形，EF到平面ABCD的距离为h,算法：VBCa,ABb,EFc.16(bbc)ahCC采用割的方法推导计算公式.连接BE，BF,DF,如图2,得三个三棱锥，设三棱锥ABDE的体积为V1,三棱锥BCDF的体积为V2,三棱锥BDEF的体积为V3,则V1V2—abh，——，V3—V2——abh■—ach,于是五面体的体积公式6V2bbb661VV1V2V3(bbc)ah.代入数据b4,c2,a3,h1，得V56立方丈.【例19】今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？【注释】刍童：上下底面都为长方形的草垛.【译文】现有上下底面都为长方形的草垛，下底面宽2丈，长3丈；上底宽3丈,长4丈，高3丈，问它的体积是多少？【解析】如图所示，在六面体EFGHABCD中，面EFGH//面ABCD且都为长方形，距离为h.设EFa，FGb，ABm，BCn.11算法：Vh(2ma)n(2am)b或Vh(2bn)a(2nb)m.66图2图1采用割的方法推导计算公式•连接AF,BD,CF,DF,HF,ED.如图2,得六个三棱锥，设三棱锥ABDF的体积为Vi,三棱锥BCDF的体积为乂,三棱锥CGHF的体积为V3,设三棱锥CHFD的体积为V4,三棱锥HEFD的体积为V,三棱锥TOC\o"1-5"\h\z111VmmEAFD的体积为V6,则Vmnh，V2mnh，V3abh，—，V4V3666V3aamlabh1bmh,V565b,V6n11匚6abh評h，于是六面体的体积公式VVV2V3V4V5V61(mnmnan)(ababbm)h61—(mnhmnhabhbmhabhanh)61(2ma)n(2am)bh.626.5立方丈.m2,n3,a3,b4,h3,代入公式得V【例20】今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈,下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈.问积几何？【注释】曲池：上下底面都为扇环形的水池•【译文】现有上下底面都为扇环形的水池，上底面扇环的内弧长为2丈，外弧长为4丈，母线长1丈；下底面扇环的内弧长为1丈4尺，外弧长为2丈4尺，母线长5尺；深1丈.问它的容积是多少？注意：上底长—3丈，下底长14241.9丈.2【例21】今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈.问积几何?【注释】盘池：上下底面都为长方形的土池.【译文】现有上下底面都为长方形的土池，上底面宽6丈，长8丈；下底宽4丈,长6丈，深2丈，问它的容积是多少？【例22】今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺•问积几何？【注释】冥谷：上下底面都为长方形的墓坑•【译文】现有上下底面都为长方形的墓坑，上底面宽2丈，长7丈；下底宽8尺,长4丈，深6丈5尺，问它的容积是多少？【说明】从例20到例22的容积求法与例19算法完全一样•【例23】今有委粟平地，下周一^二丈，高二丈.问积及为粟几何？【注释】委粟平地：在平地堆放谷子.（成圆锥形）【译文】现将谷子堆放在平地成圆锥形，圆锥底面圆的周长为12丈，高2丈.问这堆谷子的体积是多少？应有谷子是多少斛?【解析】本题是求圆锥的体积是多少立方尺（与例13解法完全相同）及谷子有多少斛•“斛”旧量器，方形，口小，底大•已知1斛谷子的体积约为2.7立方尺.TOC\o"1-5"\h\z22体积V•代入数据得V丄h120208000立方尺.12123所求谷子数为：80002962兰2963斛.2.727【例24】今有委菽依垣，下周三丈，高七尺.问积及为菽各几何？【注释】委菽依垣：靠墙壁堆放大豆（成半圆锥形）；菽：大豆.【译文】现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺.问这堆大豆的体积是多少？应有大豆是多少?.已知1斛大豆的体2，即为所求体积.【解析】本题是求半圆锥的体积是多少立方尺及大豆有多少斛积约为2.43立方尺.先补形为圆锥，求出圆锥的体积，再除以222体积V1r2h—h，取3.代入数据得V—h-60--350立3121221232方尺.所求谷子数为：迴1448144斛.2.43243【例25】今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及为米几何？1【注释】委米依垣内角：靠墙壁内角堆放米（成1圆锥形）.41【译文】现将米靠墙壁内角堆放成1圆锥形，底面扇形的弧长为8尺，高5尺.4问这堆米的体积是多少？应有米是多少？【解析】本题是求1圆锥的体积是多少立方尺及米有多少斛.2015年全国卷（I）4中，第6题作为选择题，VC2h12(84)51320、立万尺.1斛米124123493201'62立方尺，9何22斛.【例26】今有穿地，袤「丈六尺，深--丈，上广六尺,为垣积五百七十六尺.穿地下广几何?【译文】现挖坑，上底面长1丈6尺，宽6尺，深1丈.用挖的土筑墙，墙的体积为576立方尺.问所挖坑的下底宽是多少？【解析】所挖坑为水平放置的底面为等腰梯形的直四棱柱，计算方法与例2完全要解方程；（2）挖坑为“虚土”，筑墙为“坚土”，换算关系为：虚土:坚土4:3.相同，V(ab)hl，不过需要注意两点:（1）已知体积求底面宽，需于是，所挖虚土为576-768，则（6b）10160768,b18尺.所挖坑的325下底宽是183.6尺.5【例27】今有仓广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛.问高几何？【译文】现有粮仓（长方体），宽3丈，长4丈5尺，可装谷子10000斛.问该粮仓高是多少？【解析】本题是已知长方体的长、宽、体积求高.需要将斛换算成立方尺.由例23知1斛粟2.7立方尺,则有100002.73045h，h20尺2丈.【例28】今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛.问周几何？【注释】困：古代一种圆形的谷仓.少半寸：-寸.3【译文】现有圆柱形粮仓，高1丈3尺3寸又1寸，（即竺寸）.容纳米2000斛.33问该粮仓底面周长是多少？【解析】本题是已知圆柱的体积和高求底面圆的周长.需要将斛换算成立方寸.知1斛粟1.62立方尺1620立方寸.设底面周长为C,半径为r，高为h,容积为V则C，V200016203240000立方寸，CJ32400004000540寸