山财自考37线性代数考核作业(已填好
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试题
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一（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设D==M≠0，则D1==(B)．A.－2MC.－6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=C，则A应满足(D)．A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则(A)．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1=(B)．A.B.C.D.5.设两个向量组与，则下列说法正确的是(B)．A.若两向量组等价，则s=t.B.若两向量组等价，则r()=r()C.若s=t，则两向量组等价.D.若r()=r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是(C)．A.中至少有一个零向量B.中至少有两个向量对应分量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性
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示D.可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是(C)．A.r与s未必相等B.r+s=mC.r=sD.r+s>m8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=o，下列命题正确的是(D)．A.Ax=o有解时，Ax=b必有解.B.Ax=o有无穷多解时，Ax=b有无穷多解.C.Ax=b无解时，Ax=o也无解.D.Ax=b有惟一解时，Ax=o只有零解.9.设方程组有非零解，则k=(D)．A.2B.3C.-1D.1阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D)．A.|A|>0B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D=-15．12.若方阵A满足A2=A，且A≠E，则|A|=0.13.若A为3阶方阵，且，则|2A|=4．14.设矩阵的秩为2，则t=-3．15.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,)=0．16.设n元齐次线性方程组Ax=o，r(A)=r
计算题
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（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值解：==xy=xy=x²y²22.解矩阵方程：.解：令A=，B=因为（AE）=→→，所以A=由AX=B,得X=AB==23.求向量组=(1,1,2,3)，=(－1,－1,1,1)，=(1,3,3,5)，=(4,－2,5,6)的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换：（）=→→→→所以，r（）=3，极大无关组为，，；=7-3取何值时，方程组有解并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：对方程组的增广矩阵施以初等变换：=→→若方程有解，则r()=r（A），故a=5当a=5时，继续施以初等行变换得：→,原方程组的同解方程组为：，x,x为自由未知量，令x=x=0得原方程组的一个特解：与导出组同解的方程组为：x,x为自由未知量，令分别取，，得到导出组的基础解系：，，所以，方程组的全部解为v=+c+c,其中c，c为任意常数。25.已知,求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P–1AP=Λ（对角形矩阵）．解：矩阵A的特征多项式为：==所以，A的特征值为:对于:，求齐次线性方程组的基础解系，,得基础解系：从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：不全为零。对于，求齐次线性性方程组（E-A）x=O的基础解系，，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，，，所以，A相似于对角矩阵，且26.用配方法将下列二次型化为
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形：解：====令，即得二次型的标准型为：.四、证明题（本大题共6分）27.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基.证：因为，所以线性无关，所以向量组是空间的一个基。线性代数（经管类）综合试题二（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.若三阶行列式=0,则k=(C).A．1B．0C．-1D．-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是(D).A．A可逆B．B可逆C．|A|=|B|D．AB=BA3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则(A).A．B．C．D．4.矩阵的秩为2，则λ=(B).A．2B．1C．0D．5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为(D).A．B．C．D．6.向量线性相关,则(C).A．k=-4B．k=4C．k=-3D．k=37.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,若是其导出组Ax=o的解,则有(B).A．c1+c2=1B．c1=c2C．c1+c2=0D．c1=2c28.设A为n(n≥2)阶方阵，且A2=E，则必有(B).A．A的行列式等于1B．A的秩等于nC．A的逆矩阵等于ED．A的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2,1,1，则A-1的特征值为(D).A．1,2B．2,1,1C．,1D．,1,110.二次型是(A).A．正定的B．半正定的C．负定的D．不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.=_______5__．12.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|=_____32___．13.设A=,B=,则ATB=__________．14.设A=,则A-1=__________．15.向量表示为向量组的线性组合式为__________．16.如果方程组有非零解,则k=___-1_______．17.设向量与正交，则a=____2______．18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型__________．19.已知矩阵A与对角矩阵Λ=相似，则A2=___E_____．20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为__________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式的值.解：原式====22.设矩阵A=，B=，求矩阵A-1B.解：（AB）=23.设矩阵，求k的值，使A的秩r(A)分别等于1，2，3.解：对矩阵A施行初等变换：当k=1时，，矩阵A的秩r（A）=1；当k=-2时，，矩阵A的秩r（A）=2；当k时，，矩阵A的秩r（A）=3.24.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：将所给列向量构成矩阵A，然后实施初等行变换:所以，向量组的秩，向量组的一个极大无关组为：且有.25.求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解.解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：与原方程组同解的方程组为:,其中x,x为自由未知量。令分别取，得基础解系：方程组的通解为：（c，c为任意常数）26.已知矩阵，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使P-1AP=Λ.解：矩阵A的特征多项式为：得矩阵A的所有特征值为:对于，求方程组的基础解系。，得基础解系为：，将此线性无关的特征向量正交化，得：，再标准化，得：，对于解方程组，方程组的基础解系为，将其单位化，得，令则P是正交矩阵，且PAP=四、证明题（本大题共6分）27.设向量组线性无关，证明：向量组也线性无关.证：令整理得：因为线性无关，所以解得:故线性无关。线性代数（经管类）综合试题三（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.当(D)成立时，阶行列式的值为零.A.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零D.行列式所有阶子式全为零2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是(B).A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(D).A.(AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=ATBTD.4.下列矩阵不是初等矩阵的是(B).A.B.C.D.5.设是4维向量组，则(D).A.线性无关B.至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6.设A为m×n矩阵，且m0B.A的每一个元素都大于零C.D.A的正惯性指数为n10.设A，B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则(C).A.A与B相似B.A与B合同C.A与B等价D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式24.12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|=6.13.已知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则X=.14.已知向量组的秩为2，则k=-2.15.向量的长度=.16.向量在基下的坐标为.17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)=1.18.设是三阶矩阵A的特征值，则a=1.19.若是正定二次型，则满足.20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|=360.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.求：(1)矩阵A-2E及|A-2E|；(2).解：（1）(2)22.已知向量组求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：(1)将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换:所以，向量组的秩，向量组的一个极大无关组为：，且有23.讨论a为何值时，线性方程组有解当方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：若方程组有解，则,从而a=1.当a=1时，原方程组的通解方程组为：，x，x为自由未知量.令x=x=0，得原方程组的一个特解：(0,1,0,0).导出组的同解方程组为：，x，x为自由未知量.令，分别取，得导出组的基础解系：(0,1,1,0)，(-4,1,0,1).所以,方程组的通解为：(0,1,0,0)+c(0,1,1,0)+c(-4,1,0,1)，其中，c，c为任意常数.24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性.解:因为当a=2或a=-6时，向量组线性相关，当a2且a-6时，向量组线性无关，25.已知矩阵A=，(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵Λ.解：矩阵A的特征多项式为：所以，A的特征值对于求齐次线性方程组的基础解系，，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征值为：对于，求齐次线性方程组的基础解系，，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征值为：因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以，A不能相似于对角矩阵。26.设二次型(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数.令。即得二次型的标准形为：(2)由上述标准形知：二次型的秩为3，正惯性指数为2四、证明题（本大题共6分）27.已知A是n阶方阵，且，证明矩阵A可逆，并求证：由(A+E)²=O,得：A²+2A=-E,从而A(A+2E)=-E,A(-A-2E)=E所以A可逆，且A=-A-2E线性代数（经管类）综合试题四（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.三阶行列式，则a=().A.2B.3C.D.-32.设A，B均为n阶非零方阵，下列选项正确的是().A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(AB)-1=B-1A-1C.若AB=O,则A=O或B=OD.|AB|=|A||B|3.设A，B，AB-BA=().A.B.C.D.4.设矩阵的秩为2，则().A.=-4C.t是任意实数D.以上都不对5.设向量，则().A.(1,0,5,4)B.(1,0,-5,4)C.(-1,0,5,4)D.(1,0,5,-6)6.向量组线性相关,则().A.k=-4B.k=4C.k=3D.k=27.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若c1u1+c2u2也是方程组Ax=b的解，则().A.c1+c2=1B.c1=c2C.c1+c2=0D.c1=2c28.设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3)，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=o的基础解系为().A.B.C.D.9.设三阶矩阵A的特征值为1，1，2，则2A+E的特征值为().A.3，5B.1，2，1，2D.3，3，5阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是().A.B.存在n阶矩阵P，使得A=PTPC.负惯性指数为D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11..12.设A为三阶方阵，且|A|=2，A*是其伴随矩阵，则|2A*|=.13.设矩阵A，则=.14.设，则内积=.15.若向量不能由线性表示，且r()=2，则r(,)=.16.设线性方程组有解，则t=.17.方程组的基础解系含有解向量的个数是.18.设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1，2，则|B|=.19.设二次型的矩阵,则二次型.20.用正交变换将二次型化为标准形为，则矩阵A的最小特征值为.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算n阶行列式.22.解矩阵方程：.23.验证是R3的一个基，并求向量在此基下的坐标.24.设向量组线性无关，令，试确定向量组的线性相关性.25.求线性方程组的基础解系，并表示其通解.26.求矩阵的特征值和全部特征向量.四、证明题（本大题共6分）27.设是三维向量组，证明：线性无关的充分必要条件是任一三维向量都可由它线性表示.线性代数（经管类）综合试题五（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.行列式,则k=().A.1B.4C.-1或4D.-12.设A，B，C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是().A.若AB=AC，则B=CB.(A-C)2=A2-2AC+C2C.ABC=BCAD.|ABC|=|A||B||C|3.设A，B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B)=A2-B2成立的充分必要条件是().A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA4.若，则初等矩阵P=().A.B.C.D.5.设向量,则().A.(-1,3,8,9)B.(1,3,8,9)C.(-1,0,8,6)D.(-1,3,9,8)6.下列结论正确的是().A.若存在一组数k1,k2,…,km,使得成立，则向量组线性相关.B.当k1=k2=…=km=0时，，则向量组线性无关.C.若向量线性相关，则线性相关.D.若向量线性无关，则线性无关.7.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若c1u1+c2u2是其导出组Ax=o的解，则().A.c1+c2=0B.c1=c2C.c1=2c2D.c1+c2=18.线性方程组Ax=o只有零解的充分必要条件是().A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关9.设，则2的特征值为().A.B.C.D.10.设二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则二次型的规范形为().A.B.C.D.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式.12.设A为三阶方阵，|A|=2，则|2A-1|=.13.设,则2A+B=.14.设，则(AB)-1=.15.向量的单位化向量为.16.设向量组的两个极大无关组分别是和，r和t的关系是.17.设向量组的秩为2，则t=.18.设向量与正交，则k=.19.已知二次型，写出二次型f的矩阵A=.20.设三阶实对称矩阵的特征值为3,3,0，则A的秩r(A)=.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式.22.已知矩阵A=，且A+X=XA，求X.23.设A=，已知r(A)=2，求a,b的值.24.已知线性方程组，(1)问常数a1，a2，a3满足什么条件时，方程组有解(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(用它的一个特解和导出组的基础解系表示).25.设实对称矩阵A=，求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ.其中，Λ是对角矩阵.26.设二次型是正定二次型，求a的取值范围.四、证明题（本大题共6分）27.设向量组线性无关，可由线性表示，而不能由线性表示.证明：向量组线性无关.
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