23等差数列的前n项和

回顾旧知等差数列{an}的通项公式：an=a1+（n-1）d也可整理为an=dn+（a1-d）n=1时必须得成立，才能这样写通项公式。新课导入一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.2.3等差数列的前n项和教学目标知识与能力（1）掌握等差数列前n项和公式.（2）掌握等差数列前n项和公式的推导过程.（3）会简单运用等差数列的前n项和公式.过程与方法（1）通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法.（2）通过公式的运用体会方程的思想.（3）通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力.情感态度与价值观结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.教学重难点重点：等差数列前n项和的公式，有关等差数列问题求解的基本方法.难点：获得递推公式的思路，等差数列前n项和公式的其他形式.思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？用什么办法做呢？这是求奇数个项的和的问题，能不能直接用高斯的办法呢求和呢？问题:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？212120191123获得算法：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an?设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…例1：解：(1)(2)两式左右分别相加，得这种方法叫倒序相加法.2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)能否用a1,n,d表示Sn呢？将an=a1+(n-1)d代入【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫；②{an}为等差数列，这是一个关于的，没有的“”.倒序相加法Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）等差数列前n项和公式【公式记忆】用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.等差数列的前n项和公式类同于；梯形的面积公式(补成平行四边形)a1a1anan____n____na1a1(n-1)d（分割成一个平行四边形及一个三角形）1、若数列{an}为等差数列，则s3m=3（s2m-sm）2、若数列{an}为等差数列，且sp=q，sq=p，sp+q=-（p+q）3、若数列项数为2n+1，则s奇+s偶=s2n+1=（a1+a2n+1）×（2n+1），s奇-s偶=an+1，将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值:无有极小值有无极大值a1>0,d<0a1<0,d>0nsnnsna1<0,d>0,极小值a1>0,d<0,极大值观察上面的式子,我们可以看出它是关于n的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成形如:y=Ax2+Bxy=Ax+B通过上面的例题，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、snan、d、nan、sn、nn、snd、snd、na1、sna1、d由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.求前16项的和?由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18sn=(16/2)×18=144答:前16项的和为144. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：可以由等差数列性质，直接代入前n项和公式.例2：解：等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：n1=9，n2=-3(舍去)等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54.例3：设题中的等差数列为{an}，前n项和是Sn，则a1=-10，d=-6-(-10)=4,设Sn=54，根据等差数列前n项和公式，得n要为正整数已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn.解：S10=310，S20=1220例4：法二：相减得5d=－110即d=－22一个等差数列，共有10项，其中奇数项的和为125，偶数项的和为15，求a1、d.例5：解：归纳：等差数列中，n为奇数，必有n为偶数，必有等差数列中，a5=14，a2+a9=31，求S12法二：∵a5+a6=a2+a9∴a6=17公差d=a6－a5=3∴a7=20=(a6+a7)×6=222例6：解：等差数列{an}中，S15=90，求a8法一：a1+a1+14d=12即a1+a15=12即a1+7d=6∴a8=a1+7d=6=6例7：解：选用中项求等差数列的前n项之和Sn当n为奇数时，Sn=____________；当n为偶数时，Sn=_______________________.归纳：　南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题.　　例如：“今有女子不善织布，逐日所织之布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得.”思考与余味:　　再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”这是一道等差数列知道前30项和，a1的值，求等差数列的公差.课堂 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 本节课主要讲述了等差数列的前n项和公式：①sn=n（a1+an）/2②sn=na1+n（n-1）d/2以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用公式,要灵活变通.③1.推导等差数列前n项和公式的方法.2.公式的应用中的数学思想.-------倒序相加法-------方程思想3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知其中三个量，可以求其余两个.-------知三求二裂项求和有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相消仅剩下有限项，可得出前n项和公式。　                                                                 ．　如求和：                                                            提示：则：高考链接（2009全国）解：设｛an｝的公差为，则（a1+2d)(a1+6d)=-16,a1+3d+a1+5d=0.a12+8da1+12d2=-16,a1=-4d.即：因此：Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).a1=-8,d=2.解得：a1=8,d=-2.或：随堂练习1、如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着7260支铅笔.解：2、在等差数列{an}中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（1）a3=-2，a8=12，求S10（2）由等差数列的通项公式，得14.5+(n-1)0.7=32n=26（1）a1+a10=a3+a8=10解：3、凸n边形各内角成等差数列，公差为10º，最小内角为100º，则n等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或9由题意，得:解得n=8或n=9B(舍)解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为｛an},其中a1=7500,a7=10500.根据等差数列前n项和公式，得答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.4、某长跑运动员7天里每天的训练量是：7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500这位运动员7天共跑了多少米？（单位：m）解：习题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案