小高奥数几何-三角形五大模型及例题解析

PAGE\*MERGEFORMAT15三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，则可知直线平行于．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的×=三、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）S1︰S3=a2︰b2②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;③S的对应份数为（a+b）2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。(2)判断相似的方法：①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。①;S1︰S2=a2︰A2模型五：燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；【重点难点解析】模型一与其他知识混杂的各种复杂变形在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1.三角形面积等高成比2.“鸟头定理”3.“蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级※）如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级※）如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【例3】（难度等级※）如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级※※※）如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。【例5】（难度等级※※）如右图BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？【例6】（难度等级※）如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【例7】（难度等级※）如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积．【例8】（难度等级※※）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行，ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。【例10】（难度等级※※）如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?【例11】（难度等级※※）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【例12】（难度等级※※※）如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。【例13】（难度等级※※※）如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.【例14】（难度等级※※※）如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【例15】（难度等级※）某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例16】（难度等级※※）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【作业】1.如图，三角形中，，，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？2.如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？3.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。4.如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.如图，在△ABC中，延长BD=AB，CE=BC，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？【例1】（难度等级※）如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【分析与解】如右图，连接BH、HC，由E、F、G分别为AB、BC、CD三边的中点有AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此S1=S2，S3=S4，S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为28.【例2】（难度等级※）如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【分析与解】上排4个阴影三角形的高都等于BF，底边之和恰好为AB，他们的面积之和为；下排4个三角形的高都等于CF，底边之和恰好为CD，他们的面积之和为.所以阴影部分面积为:(平方厘米).【例3】（难度等级※）如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【分析与解】首先，平方厘米，而F是AC中点，所以.又E是AB中点，所以平方厘米.【例4】（难度等级※※※）如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。【分析与解】连接DE,于是三角形AEF的面积=三角形EFD的面积，所求被转化为三角形EDC的面积。因为F是AD中点，所以三角形AEC的面积和三角形EDC的面积相等，设SBDE为1份,则SAEC=SEDC为3份因此SABC一共7份，每份面积为所以SEDC占3份为。【例5】（难度等级※※）如右图BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？【分析与解】上图中，三角形AEC与三角形ABC的高相等，而BE=BC，于是EC=BC，又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=AC,于是AD=AC,所以，三角形AED的面积=×三角形AEC的面积=××三角形ABC的面积=×三角形ABC的面积【例6】（难度等级※）如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【分析与解】连接BE显然有，所以【例7】（难度等级※）如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积．【分析与解】平方厘米因为Y是BD中点，Z是DY中点，所以【例8】（难度等级※※）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行，ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。【分析与解】×EG×AE+×EG×EB=7平方厘米即×EG×AB=7平方厘米；EG=3.5厘米【例10】（难度等级※※）如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?【分析与解】连接CF由ABCD和CEFG都是正方形有所以.由平行线间距离相等知三角形BDF和三角形BDC同底等高所以【例11】（难度等级※※）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【分析与解】如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以x=23+32+12x=67.【例12】（难度等级※※※）如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。【分析与解】BC×14=CD×16，BC：CD=16：14，BC+CD=，BC=×=20ABCD面积=14×20=280（平方厘米）【例13】（难度等级※※※）如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.【分析与解】因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是：　　在△ABE中，因为AB＝6.所以BE＝4，同理DF＝4，因此CE＝CF＝2，∴△ECF的面积为2×2÷2＝2．所以（平方厘米）．【例14】（难度等级※※※）如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【分析与解】由BD=DC有；由，，有.由鸟头定理有，，故.【例15】（难度等级※）某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析与解】由任意四边形的蝴蝶定理有所以平方千米，故公园总面积为平方千米，人工湖面积为平方千米【例16】（难度等级※※）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为.所以原题中阴影部分面积为(平方厘米)．【作业】1.如图，三角形中，，，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？【答案】1202.如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？【答案】973.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。【答案】84.如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.【答案】1：17如图，在△ABC中，延长BD=AB，CE=BC，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？【答案】3.5