大学拓扑学考试试卷参考答案（A）一、
选择题
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（将正确答案填入题后的括号内,每题3分，共15分）1、1、已知X={a,b,c,d,e}，下列集族中，（）是X上的拓扑.T={X,。,{a},{a,b},{a,c,e}}T={X,«,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}T={X,。,{a},{a,b}}T={X,。,{a},{b},{c},{d},{e}}2、设X={a,b,c,d},拓扑T={X,。,{a},{b,c,d}}，则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）A.1B.2C.3D.43、在实数空间中，整数集Z的内部Z。是（）TOC\o"1-5"\h\zA.^B.ZC.R-ZD.R4、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是（）A.若A=@，则Ad=伞B.若A={x0},则Ad=XC.若A={x1,x2},则UAd=X一AD.若A-{x1,x2}，贝UAd=A5、平庸空间的任一非空真子集为（）A.开集B.闭集C.既开又闭D.非开非闭二、简答题（每题3分，共15分）1、A空间22、T空间：13、不连通空间4、序列紧致空间5、正规空间三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、从拓扑空间x到平庸空间y的任何映射都是连续映射（）2、设拓扑空间x满足第二可数性公理，则x满足第一可数性公理（）3、设A为平庸空间x（X多于一点）的一个单点集，则Ad=伞（）4、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集（）四、
证明
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题（共50分）i、设x,y,z都是拓扑空间.f:xfy,g:yfz都是连续映射，试证明gof:xfZ也是连续映射。（10分）2、设f：xfy是从连通空间x到拓扑空间y的一个连续映射.则f（x）是y的一个连通子集.（10分）3、设x是Hausdorff空间，f:xtx是连续映射.证明A={xexIf（x）=x}是x的闭子集.（10分）4、设x为非空集合，令T={aIA=x—。,其中C为至多可数集}d{0}余可数试证：（1）（x,T）是一个拓扑空间；（5分）余可数⑵若x不可数，（x,T）是连通空间；（5分）余可数（3）（X,T）为T但非T空间；（5分）余可数12⑷（x,T）是Lindeloff空间（提示：即证x的任一个开覆盖有至多可数覆余可数盖）。（5分）大学拓扑学考试试卷参考答案（A）注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、选择题（将正确答案填入题后的括号内,每题3分，共15分）1、C2、B3、A4、A5、D二、简答题（每题3分，共15分）1、A空间2答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A空间.22、T空间：1答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T空间.13、不连通空间答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B，使得AuB=X，则称X是一个不连通空间4、序列紧致空间答案：设X是一个拓扑空间如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X是一个序列紧致空间.5、正规空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、从拓扑空间X到平庸空间y的任何映射都是连续映射（）答案:J理由：设f:xfy是任一满足条件的映射，由于y是平庸空间，它中的开集只有y,G，易知它们在f下的原象分别是x,。，均为X中的开集，从而f:xfy连续.2、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（）答案：V理由:设拓扑空间X满足第二可数性公理，仍是它的一个可数基，对于每一个xeX,易知B={BeB|xeB}是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数x族，从而X在点x处有可数邻域基，故X满足第一可数性公理3、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则4。=G（）答案：X理由：设4={y},则对于任意xeX,x丰y,x有唯一的一个邻域X，且有yeXc（4-x），从而Xc（4-x）w。，因此x是4的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有Xn（4-y）=。，所以有Ad-X-4w。.4、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.（）答案：V理由：设4是Hausdorff空间X的一个紧致子集，则对于任何xeX，若x电4，则易知x不是4的凝聚点，因此4=4，从而4是一个闭集.四、证明题（共50分）1、证：设W是Z的任意一个开集，由于g:yfZ是一个连续映射，从而g-i（W）是y的一个开集，由f:Xfy是连续映射，故f-1（g-1（W））是X的一开集，因此(gof)T(W)=f-1(g-1(W))是X的开集，所以gof:XfZ是连续映射.2、证明：如果f(X)是y的一个不连通子集，则存在y的非空隔离子集aB使得f(X)=AuB，于是f-1(A),f-1(B)是X的非空子集，并且：(f-1(A)cf-1(B))u(f-1(B)cf-1(A))u(f-1(A)cf-1(B))u(f-1(B)cf-1(A))=f-1((AcB)u(AcB))=。所以f-1(A),f-1(B)是X的非空隔离子集此外，f-1(A)uf-1(B)=f-1(AuB)=f-1(f(X))=X，这说明X不连通，矛盾.从而f(X)是y的一个连通子集3、证明：对于VxeA一则f(x)丰x，从而f(x),x有互不相交的开邻域U和V，设W=f-1(U)cV，则W是x的开邻域，且xeWu4,故4是开集，从而A是闭集.4、证明：⑴QMt的定义。eT此外,X=X-0T.余可数余可数余可数6)设A，AeT，12余可数1A=0或A=0,则!cA=0eT212余可数Aw0,Aw0,则!=X-C,A=X-C,其中C，C为至多可数集12112212根据呢-Morga公式，有AcA=(X-C)c(X-C)=X-(CuC)eT121212余可数G＞设4eT,(VaeD,不失一般性，令a余可数A=X-C,其中C为至多可数集,=u(X-C)=X-cCeTaaaaeraaeraae「a余可数由hcJI乃＞可知，7为上的一个拓扑。余可数(2)注意(X-C)c(X-C)=X-(CuC)。0；1212⑶对任意p,qeX,p丰q，则U=X—{q}与U=X-{p}分别为p与q的开邻域，pq且q电匕,p电Uj因此，（X,T余可数）为4空间。设U为p的任何开邻域，U为q的任何开邻域，pq则U=X—C,U=X—C，其中p1q2C,C均为X的至多可数子集，并且12UIU=(X-C)I(X-C)=X-CUCW0pq1212所以，(X,T)非T空间。余可数2⑷设A是X的任一个开覆盖,任取4。eA,A0w0，则A0=X—C（C为X的至多可数集）,记C={c，…,c，…},因A是X的开覆盖，故3AeA,s.t.ceA,ieN于是,1niii4二{Ali二O,1,…,n，…}A是X的至多可数开覆盖,从而（x,T余可数）是Lindeloff空间.
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