中考数学知识点专题复习系列训练题及解析(珍藏版)：02圆与四边形动态探究综合题

专题02圆与四边形动向探究综合题1.如图（1），线段AB=4，以线段AB为直径画⊙O，C为⊙O上的动点，连结OC，过点A作⊙O的切线与BC的延伸线交于点D，E为AD的中点，连结CE．1）求证：CE是⊙O的切线；2）填空：①当CE=时，四边形AOCE为正方形；②如图（2），当CE=时，△CDE为等边三角形．2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延伸线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连结AF、BF，DF．（1）求证：BF⊥AF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADEF为菱形？请赐予证明．3.如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延伸CO交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E，连CE交AB于点F，连结DF．1）求证：△DAC≌△ECP；2）填空：①四边形ACED是何种特殊的四边形？②在点P运动过程中，线段DF、AP的数量关系是．4.如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连结OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．1）试判断四边形DEFG的形状，并说明原因；2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；②若AB=2，当∠CAB的度数为时，四边形DEFG是正方形．5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰巧经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若AB=，E是半圆上一动点，连结AE，AD，DE．填空：①当的长度是时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是时，△ADE是直角三角形．6.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延伸线于点F．（1）求证：（2）①当∠FC＝FD．CAB的度数为时，四边形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中点，⊙O的半径为5，AC＝8，则FC的长为．7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AB边上一点，以O为圆心OB为半径的⊙O与边AB相交于点E，与AC边相切于D点，连结OC交⊙O于点F．1）连结DE，求证：OC∥DE；2）若⊙O的半径为3．①连结DF，若四边形OEDF为菱形，弧BD的长为________．（结果保存π）②若AE＝2，则AD的长为________．8.如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于点．直接写出ED和EC的数量关系：_________；DE是⊙O的切线吗？假如，给出证明；若不是，说明原因；填空：当BC=_______时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为极点的四边形是_______．9.如图，已知BC是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，CD∥OA交⊙O于另一点E.求证：△ACD∽△BCA；若A是⊙O上一动点，则①当∠B＝_______时，以A，O，C，D为极点的四边形是正方形；②当∠B＝_______时，以A，O，C，E为极点的四边形是菱形.10.如图，已知AB是⊙O的直径，PC与⊙O相切于点P，过点A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连结PA，PB，PO.求证：AP平分∠CAB；(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则①当弦AP＝_______时，以A，O，P，C为极点的四边形是正方形；②当弧AP＝_______时，以A，D，O，P为极点的四边形是菱形.11.如图,AB是☉O的直径,点P是弦AC上一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交?于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;︵(2)若∠CAB=30°,当F是AC的中点时,判断以A、O、C、F为极点的四边形是什么特殊四边形?并说明原因.︵︵︵12.如图,在△ACE中,AC=CE,☉O经过点A,C,且与边AE,CE分别交于点D,F,点B是AC上一点,且DF=BC?,连结AB,BC,CD.(1)求证:△CDE≌△ABC;(2)填空:若AC为☉O的直径,则①当△ACE的形状为______时,四边形OCFD为菱形;②当△ACE的形状为______时,四边形ABCD为正方形.专题02圆与四边形动向探究综合题1.如图（1），线段AB=4，以线段AB为直径画⊙O，C为⊙O上的动点，连结OC，过点A作⊙O的切线与BC的延伸线交于点D，E为AD的中点，连结CE．1）求证：CE是⊙O的切线；2）填空：①当CE=时，四边形AOCE为正方形；②如图（2），当CE=时，△CDE为等边三角形．【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】(1)证明看法析；(2)①2②【解析】解：（1）证明：连结AC、OE，如图（1），AB为直径，∴∠ACB=90°，∴△ACD为直角三角形，又∵E为AD的中点，∴EA=EC，在△OCE和△OAE中，，∴△OCE≌△OAE（SSS），∴∠OCE=∠OAE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形．原因如下：当C为边BD的中点，而E为AD的中点，∴CE为△BAD的中位线，∴CE∥AB，CE=AB=OA，∴四边形OAEC为平行四边形，∵∠OAE=90°，∴平行四边形OCEA是矩形，又∵OA=OC，∴矩形OCEA是正方形，CE=OA=2，故答案为：2；②连结AC，如图（2），∵△CDE为等边三角形，∴∠D=60°，∠ABD=30°，CE=CD，在Rt△ABC中，AC=AB=2，在Rt△ACD中，∵tan∠D=，∴CD===，∴CE=，故答案为：．2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延伸线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连结AF、BF，DF．（1）求证：BF⊥AF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADEF为菱形？请赐予证明．【答案】(1)证明看法析；(2)60°证明看法析【解析】解：（1）证明：∵EF∥AB，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，∵∠E=∠EFA，∴∠FAB=∠CAB，在△ABC和△ABF中，，∴△ABC≌△ABF（SAS），∴∠AFB=∠ACB=90°，∴BF⊥AF；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．原因如下：∵∠CAB=60°，∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，∴EF=AD=AE，∴四边形ADFE是菱形．3.如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延伸CO交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E，连CE交AB于点F，连结DF．（1）求证：△DAC≌△ECP；（2）填空：①四边形ACED是何种特殊的四边形？②在点P运动过程中，线段DF、AP的数量关系是．【答案】(1)证明看法析；(2)①平行四边形②DF=AP【解析】解：（1）证明：∵DE为切线，OD⊥DE，∴∠CDE=90°，∵点C为AP的中点，DC⊥AP，∴∠DCA=∠DCP=90°，AB是⊙O直径，∴∠APB=90°，∴四边形DEPC为矩形，∴DC=EP，在△DAC和△ECP中，∴△DAC≌△ECP；2）①∵△DAC≌△ECP，∴AD=CE，∠DAC=∠ECP，∴AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；②∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，AD∥CE，∴∠ADO=∠DCF，∴∠DAO=∠DCF，A，C，F，D四点共圆，=，AC=DF，AC=AP，∴DF=AP，故答案为：DF=AP．4.如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连结OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．1）试判断四边形DEFG的形状，并说明原因；2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；②若AB=2，当∠CAB的度数为时，四边形DEFG是正方形．【答案】(1)看法析；(2)①②75°或15°【解析】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，∴DG∥AB，DG=AB，EF∥AB，EF=AB，DG∥EF，DG=EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）①连结OC．CA=CB，∴=，∴DG⊥OC，AD=DC，AE=EO，DE∥OC，DE=OC=1，同理EF=AB=，DE⊥DG，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的面积=．故答案为；②当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=75°，当C是劣弧AB的中点时，四边形故答案为75°或15°．DEFG是正方形，此时∠CAB=15°，5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰巧经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若AB=，E是半圆上一动点，连结AE，AD，DE．填空：①当的长度是时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是时，△ADE是直角三角形．【答案】(1)看法析；(2)①②π或π【解析】（1）证明：如图1，连结OD，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AB=BC，D是BC的中点，∴BD=BC，AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODB=∠BAO=90°，即OD⊥BC，∴BD是⊙O的切线．（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；如图2，设DE交AC于点M，连结OE，则DE=2DM，∵∠C=30°，CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，∵∠BAC=90°，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，AB=BD，∴四边形ABDE是菱形；AD=BD=AB=CD=BC=，∴△ABD是等边三角形，OD=CD?tan30°=1，∴∠ADB=60°，∵∠CDE=90°﹣∠C=60°，∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°，∴∠AOE=2∠ADE=120°，∴的长度为：=π；故答案为：；②若∠ADE=90°E与点F重合，此时的长度为：，则点若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时AD不是直径，∴∠AED≠90；°=π；的长度为：=π；综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．故答案为：ππ或．6.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延伸线于点F．（1）求证：（2）①当∠②若D是弦FC＝FD．CAB的度数为AC的中点，⊙时，四边形OEFC是矩形；O的半径为5，AC＝8，则FC的长为．【答案】（1）证明看法析；（2）∠CAB＝45°FC103【解析】（1）证明∠FDC＝∠FCD，即可求解；（2）①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，即可求解；②D是弦AC的中点，则OD⊥AC，AD＝DC，cosα＝＝，FD＝＝＝，即可求解．解：（1）∵FC是圆的切线，∴∠FCD+∠ACO＝90°，FE⊥BA，∴∠ADC+∠CAO＝90°，而∠CAO＝∠ACO，∠ADE＝∠FDC，∴∠FDC＝∠FCD，FC＝FD；2）①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，则四边形OEFC是矩形，故答案是45；②连结OD，∵D是弦AC的中点，OD⊥AC，AD＝DC，则∠ADE＝∠AOD＝∠FDC＝α，则AD＝CD＝AC＝4，OA＝5，DO＝4，cosα＝则△FDC＝中，，FD＝＝＝＝FC．【点评】本题为圆的综合运用题，波及到解直角三角形、矩形的基本性质，其中（2），垂径定理的运用，是解题的重点．7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AB边上一点，以O为圆心OB为半径的⊙O与边AB相交于点E，与AC边相切于D点，连结OC交⊙O于点F．1）连结DE，求证：OC∥DE；2）若⊙O的半径为3．①连结DF，若四边形OEDF为菱形，弧BD的长为________．（结果保存π）②若AE＝2，则AD的长为________．【答案】（1）看法析；（2）①2π；②4.【解析】（1）利用HL可证明Rt△OCD≌Rt△OCB，可得∠COD＝∠COB，利用三角形外角性质可得∠DOB＝∠ODE+∠OED，即可证明∠DOC＝∠ODE，即可得OC//DE；（2）①根据菱形的性质可求出∠BOD，利用弧长公式即可得答案；②由DE∥OC，推出＝＝，设AD＝2k，CD＝3k，由Rt△OCD≌Rt△OCB，可得BC＝CD＝3k，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程即可解决问题．【详解】（1）证明：连结OD．∵AC是切线，OD⊥AC，∠ODC＝∠OBC＝90°，∵OC＝OC，OD＝OB，Rt△OCD≌Rt△OCB（HL），∴∠COD＝∠COB，OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵∠DOB＝∠ODE+∠OED，∴∠DOC＝∠ODE，DE∥OC．（2）①∵四边形DEOF是菱形，DF＝OD＝OF，∴△ODF是等边三角形，∴∠DOF＝60°，∴∠BOD＝2∠DOC＝120°，∴的长＝＝2π．故答案为2π．②∵DE∥OC，∴＝＝，设AD＝2k，CD＝3k，∵Rt△OCD≌Rt△OCB，BC＝CD＝3k，在Rt△ABC中，则有25k2＝9k2+82，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AD＝4．故答案为4．8.如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于点．直接写出ED和EC的数量关系：_________；DE是⊙O的切线吗？假如，给出证明；若不是，说明原因；填空：当BC=_______时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为极点的四边形是_______．【答案】(1).ED=EC(2).DE是⊙O的切线；证明看法析(3)2正方形【解析】(1)连结CD，如图，由圆周角定理获得∠ADC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线直线获得DE=CE=BE；连结OD，如图，利用切线性质得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根据切线的判断定理可判断DE是⊙O的切线；(3)要判断四边形AOED是平行四边形，则DE=OA=1，所以BC=2，当BC=2时，△ACB为等腰直角三角形，则∠B=45°，又可判断△BCD为等腰直角三角形，于是获得DE⊥BC，DE=1BC=1，所以四边形AOED是平行四边形；然后利用2OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，可判断四边形OCED为正方形．【详解】（1）连结CD，如图，AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，E是BC的中点，∴DE=CE=BE；（2）DE是⊙O的切线．原因如下：连结OD，如图，BC为切线，∴OC⊥BC，∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，OC=OD，ED=EC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，OD⊥DE，DE是⊙O的切线；（3）当BC=2时，∵CA=CB=2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，DE⊥BC，DE=1BC=1，2OA=DE=1，AO∥DE，∴四边形AOED是平行四边形；OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，∴四边形OCED为正方形．故答案为ED=EC；2，正方形．【点睛】本题考察了切线的判断与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判断与性质，娴熟掌握切线的判断与性质是解本题的重点．9.如图，已知BC是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，CD∥OA交⊙O于另一点E.求证：△ACD∽△BCA；若A是⊙O上一动点，则①当∠B＝_______时，以A，O，C，D为极点的四边形是正方形；②当∠B＝_______时，以A，O，C，E为极点的四边形是菱形.【答案】（1）看法析；（2）①45°；②60°.【解析】证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴OA⊥AD，∵CD∥OA，∴∠ADC＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ADC，又∵CD∥OA，∴∠ACD＝∠CAO，OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠ACD＝∠ACO，∴△ACD∽△BCA；解：①45°【解法提示】∵四边形AOCD为正方形，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝45°，∵∠BAC90°，OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝90°－45°＝45°②60°10.如图，已知AB是⊙O的直径，PC与⊙O相切于点P，过点A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连结PA，PB，PO.求证：AP平分∠CAB；(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则①当弦AP＝_______时，以A，O，P，C为极点的四边形是正方形；②当弧AP＝_______时，以A，D，O，P为极点的四边形是菱形.【答案】（1）看法析；（2）①22；②2π或4π.33【解析】(1)证明：如图，∵PC与⊙O相切于点P，OP⊥PC.AC⊥PC，∴AC∥OP.∴∠1＝∠3.OP＝OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AP平分∠CAB；（2）①22解法提示：∵四边形AOPC是正方形，∴OP=OA=2，∠POA=90°，∴AP=OP2OA2222π或4π33第一种情况如图当四边形ADOP为菱形，AD＝AP＝OP＝OD，△AOP和△AOD为等边三角形，则∠AOP＝60°，的长度＝＝π．第二种情况如图当四边形ADPO为菱形，AD＝DP＝PO＝OA，△AOD和△DOP为等边三角形，则∠AOP＝120°，的长度＝＝π．故答案为2，π或π．11.如图,AB是☉O的直径,点P是弦AC上一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交?于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;︵(2)若∠CAB=30°,当F是AC的中点时,判断以A、O、C、F为极点的四边形是什么特殊四边形?并说明原因.【答案】（1）看法析（2）看法析【解析】解析(1)证明:连结OC,∵CD是☉O的切线,OC为半径,OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∴∠DCA+∠OCA=90°.∵PE⊥AB,∴∠DEA=90°,∴∠OAC+∠APE=90°.OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∴∠DCA=∠APE.又∵∠DPC=∠APE,∴∠DCA=∠DPC.∴DC=DP.四边形AOCF是菱形.原因:连结OF,AF,CF.AO=CO,∠CAB=30°,∴∠ACO=∠CAB=30°,∴∠AOC=120°.F是AC的中点,∴∠AOF=∠FOC=?1∠AOC=60°,︵2AO=FO=CO,∴△AOF,△FOC均为等边三角形,∴AO=AF=FC=CO,∴四边形AOCF是菱形.︵︵︵13.如图,在△ACE中,AC=CE,☉O经过点A,C,且与边AE,CE分别交于点D,F,点B是AC上一点,且DF=BC?,连结AB,BC,CD.求证:△CDE≌△ABC;填空:若AC为☉O的直径,则①当△ACE的形状为______时,四边形OCFD为菱形;②当△ACE的形状为______时,四边形ABCD为正方形.【答案】（1）看法析（2）①等边三角形②等腰直角三角形【解析】︵︵解：(1)∵?DF=BC?,∴∠BAC=∠DCE,∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角,∴∠CDE=∠ABC,在△CDE和△ABC中,CDEABC,?DCEBAC,ACCE,∴△CDE≌△ABC(AAS).①等边三角形.②等腰直角三角形.如图,①连结AF,AC是直径,∴OA=OC,∠ADC=90°=∠AFC,∵四边形OCFD是菱形,∴CF=OC=OA,∴AC=2CF,又∵∠AFC=90°,∴∠ACE=60°,AC=CE,∴△ACE是等边三角形.②∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠ACD=45°,AC=CE,CD⊥AE,∴∠DCE=∠ACD=45°,∴∠ACE=90°,AC=CE,∴△ACE是等腰直角三角形.