2011年北京高考数学理科试题及标准答案

绝密★启封并使用完毕前2011年一般高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是A．(-∞,-1]B．[1,+∞）C．[-1，1]D．（-∞，-1]∪[1，+∞）复数A．iB．-iC．D．3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A．B．C．(1,0)D．(1，)4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为A．-3B．-C．D．25．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AF·AG=AD·AE③△AFB～△ADG其中正确结论的序号是A．①②B．②③C．①③D．①②③6．依据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是A．75，25B．75，16C．60，25D．60，167．某四周体的三视图如图所示，该四周体四个面的面积中，最大的是A．8B．C．10D．设,，,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为A．B．C．D．其次部分（非选择题共110分）填空题共6小题，每小题5分，共30分。在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=______________。已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=_________________。在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=_____________；___________。用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都消灭一次，这样的四位数共有_________个。（用数字作答）已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是____14．曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a。其中，全部正确结论的序号是____________。三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共13分）已知函数。（Ⅰ）求的最小正周期：（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。16．（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.(Ⅰ)求证：平面（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.17．（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（Ⅰ）假如X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）假如X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为，，……的平均数）18．（本小题共13分）已知函数。（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。19．（本小题共14分）椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.20．（本小题共13分）若数列满足，数列为数列，记=．（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？假如存在，写出一个满足条件的E数列；假如不存在，说明理由。参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）D（5）A（6）D（7）C（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）1（11）—2（12）14（13）（0，1）（14）②③三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由于所以的最小正周期为（Ⅱ）由于于是，当时，取得最大值2；当取得最小值—1.（16）（共14分）证明：（Ⅰ）由于四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又由于PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.（Ⅱ）设AC∩BD=O.由于∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.所以设PB与AC所成角为，则.（Ⅲ）由（Ⅱ）知设P（0，－，t）（t>0），则设平面PBC的法向量,则所以令则所以同理，平面PDC的法向量由于平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即解得所以PA=（17）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21大事“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该大事有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19（18）（共13分）解：（Ⅰ）令，得.当k>0时，的状况如下x()(,k)k+0—0+↗↘0↗所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的状况如下x()(,k)k—0+0—↘0↗↘所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是（Ⅱ）当k>0时，由于，所以不会有当k<0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是所以等价于解得.故当时，k的取值范围是（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当时，所以.由于且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.（20）（共13分）解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（Ⅱ）必要性：由于E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.又由于a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（Ⅲ）令由于……所以由于所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得