寒假专
题
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——常见递推数列通项公式的求法重、难点:1.重点:递推关系的几种形式。2.难点:灵活应用求通项公式的
方法
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解题。【典型例题】[例1]型。(1)时,是等差数列,(2)时,设∴比较系数:∴∴是等比数列,公比为,首项为∴∴[例2]型。(1)时,,若可求和,则可用累加消项的方法。例:已知满足,求的通项公式。解:∵∴……对这()个式子求和得:∴(2)时,当则可设∴∴解得:,∴是以为首项,为公比的等比数列∴∴将A、B代入即可(3)(0,1)等式两边同时除以得令则∴可归为型[例3]型。(1)若是常数时,可归为等比数列。(2)若可求积,可用累积约项的方法化简求通项。例:已知:,()求数列的通项。解:∴[例4]型。考虑
函数
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倒数关系有∴令则可归为型。练习:1.已知满足,求通项公式。解:设∴∴是以4为首项,2为公比为等比数列∴∴2.已知的首项,()求通项公式。解:……∴3.已知中,且求数列通项公式。解:∴∴4.数列中,,,求的通项。解:∴设∴∴∴…… ∴∴5.已知:,时,,求的通项公式。解:设∴解得:∴∴是以3为首项,为公比的等比数列∴∴【模拟试题】1.已知中,,,求。2.已知中,,()求。3.已知中,,()求。4.已知中,,()求。5.已知中,,其前项和与满足()(1)求证:为等差数列(2)求的通项公式6.已知在正整数数列中,前项和满足(1)求证:是等差数列(2)若,求的前n项和的最小值【试题答案】1.解:由,得∴……∴∴2.解:由得:∴即是等比数列∴3.解:由得∴成等差数列,∴4.解:∴()∴()设即∴是等差数列∴5.解:(1)∴∴是首项为1,公差为2的等差数列∴(2)∴又∵∴6.解:(1)∴时,整理得:∵是正整数数列∴∴∴是首项为2,公差为4的等差数列∴(2)∴为等差数列∴∴当时,的最小值为