——PAGE1——22、在数列中,,对任意都有.(1)求数列的第2项和第2项;(2)求数列的通项
公式
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,假设,试求数列的前项和;(3)若对一切和任意恒成立,求的取值范围.【解析】(1),;(2)由题意,,∴当时,∴.又满足上式,∴.∴∴(3)∵为递增数列,∴的最小值为,∴不等式对一切和任意恒成立即不等式也即对任意恒成立.【法1】令,则在上,.当时,,即,解得(舍去;当时,,即,这与矛盾;当时,或或,解得综上,所求的的取值范围是【法2】∵时,将不等式进行变量分离得.记,则.令,则∴,其中∵,∴单调递增,∴,∴,即的取值范围是.22、已知数列的前项和;数列满足,且.(1)求数列、的通项公式;(2)设,数列的前项和为,求使不等式对一切都成立的最大正整数的值;(3)设,是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)当时,;又符合上式,∴的通项公式为;∵,∴数列成等差数列,设公差为,则,解得.数列的通项公式为.(2)∵,∴又∵,∴数列递增;∴的最小值为,∴,即,即使不等式对一切都成立的最大正整数的值为18.(3)①当为正奇数时,为正偶数,即,解得;②当为正偶数时,为正奇数,即,解得;综上,存在唯一的正整数,使得成立.