【初二数学专题】正方形内十字架模型母题:如图,在正方形ABCD中,E,F分别在BC,CD上,BE=CF.AE与BF之间有怎样的关系?请说明理由.解:AE=BF且AE⊥BF.理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠C.又∵BE=CF,∴△ABE≌△BCF(SAS).∴∠BAE=∠CBF,AE=BF.又∵∠BAE+∠AEB=90°,∴∠CBF+∠AEB=90°.∴∠BOE=90°.∴AE⊥BF.【变式1】 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°.求证:BE=CF.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°.∵∠AOB=180°-∠AOF=90°,∴∠BAE+∠OBA=90°.又∵∠ABE=∠CBF+∠OBA=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF(ASA).∴BE=CF.【变式2】 (长春中考改编)如图,在正方形ABCD中,E是CD上一点(点E不与C,D重合),连接BE,M为BE上一点,过点M作GF⊥BE交BC于点F,交AD于点G.求证:BE=FG.证明:过点G作GP⊥BC于点P.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°.∴四边形ABPG是矩形.∴PG=AB.∴PG=BC.∵∠EBC+∠BEC=90°,∠EBC+∠GFP=90°,∴∠BEC=∠GFP.又∵∠BCE=∠GPF=90°,∴△CBE≌△PGF(AAS).∴BE=FG.【变式2的拓展应用】 若M是BE的中点,连接CM.若CM=1,则FG=2.【变式3】 如图,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4.求GH的长.解:过点A作AM∥GH交BC于点M,过点B作BN∥EF交CD于点N,AM与BN交于点O′,则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形,∴EF=BN,GH=AM.∵∠FOH=90°,AM∥GH,BN∥EF,∴∠NO′A=90°.由变式1,得△ABM≌△BCN,∴AM=BN.∴GH=EF=4.【变式3的拓展应用】 如图,矩形ABCD由两个全等的正方形组成,点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4,则GH=8.模型
总结
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:正方形中“十字架模型”:在正方形的对边分别取点并相连,所得两条线段①若垂直,则相等;②若相等,则垂直.正方形内垂直十字架相等运用——2020年新中考提高篇【针对训练1】如图,将边长为2cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段MN的长是.【分析】链接DE,根据折叠的性质可得MN垂直平分DE,根据正方形内互相垂直的“十字架”的线段相等,则可得MN=DE.在Rt△DEC中,根据勾股定理求出DE==.