3.2.2空间线面平行与垂直关系的判定攸县一中洪开科一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量
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示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）OD1C1B1A1DBCA例1．如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证：B1C∥平面ODC1，又B1C平面ODC1,∴B1C∥平面ODC1分析(基底法)：只要证明与平面ODC1中的一组基底共面.A1D1B1ADBCC1EFxyz例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD中点，求证：D1F⊥平面ADE证明：设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系D-xyz∵D1F⊥DA，D1F⊥DE又DA∩DE=D所以D1F⊥平面ADE例3．如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，且CF⊥平面ABCD，CF=2.求证：平面ABF⊥平面ADF(2009安徽卷理(1))证：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．如图建立空间直角坐标系O-xyz则A(0,-1,0)，C(0,1,0)，F(0,1,2)BCFADOxzyABCDEPF(1)证明：因为ABCD是菱形,∠ABC=60°且PA=AC=a,∴菱形的边长为a.∴PA2+AB2=2a2=PB2.∴PA⊥AB.同理PA⊥AD,∴PA⊥平面ABCD.例4．如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(1)证明PA⊥平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；(3)在棱PC上是否存在一点F使BF//平面AEC？证明你的结论.ABCDEPFyzxN例4．如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(1)证明PA⊥平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；(3)在棱PC上是否存在一点F使BF//平面AEC？证明你的结论.(2)解:过A作AN⊥AD交BC于N，如图建立空间直角坐标系A-xyz.设平面EAC的法向量为易知平面DAC的法向量为∴θ=30º.ABCDEPFyzxN例4．如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(1)证明PA⊥平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；(3)在棱PC上是否存在一点F使BF//平面AEC？证明你的结论.,(3)假设存在点F满足条件.其中0≤λ≤1.且又BF平面AEC∴存在点F是棱PC的中点，使BF//平面AEC.五、迁移练习1．下列判断不正确的是()A．若两平面的法向量共线，则两平面平行.B．若直线的方向向量与平面的法向量共线，则直线与平面垂直.C．若两平面的法向量垂直，则两平面垂直.D．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行.2．棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上找到一点P使B1D⊥面PAC，则DP的长为______DaABCA1B1C1Myz3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，A1A=，M是CC1得中点。求证：A1B⊥AM
总结
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：用向量证明比几何方法证明简单、明了。证明：如图建立空间直角坐标系C-xyz4．在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ5.如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且求证：ABCDEFxyzMN简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以为正交基底，建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，则可得各点坐标，从而有又平面CDE的一个法向量是因为MN不在平面CDE内所以MN//平面CDE
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