(word完整版)圆的相关定理及其几何证明(含答案),推荐文档

圆的相关定理及其几何证明典题探究例1:如图，圆O是AABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D.若CD=很，AB=AC=2，则线段AD的长是；圆O的半径是.例2：如图，在圆。中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A,O之间），EF人BC，垂足为f.若AB=6，CF?CB5，则AE=例3：如图已知PA与圆O相切于A，半径OC±OP，AC交PO于B，若OC=1,OP=2，则PA=—,PB=—.—C例4：如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知ZBPA=30。，BC=11，PB=1,则PA=_F圆O的半径等于演练方阵A档（巩固专练）1.如图，已知直线PD切。O于点D,直线PO交。O于点E,F.若PF=2+3,PD=1,则。。的半径为；ZEFD=,2.如图，AP与eO切于点A,交弦DB的延长线于点P,过点B作圆O的切线交AP于点C.若ZACB=90。，BC=3,CP=4，则弦DB的长为.D__,,―13.如图：圆。的割线PAB经过圆心O,C是圆上一点，PA=AC=2AB,则以下结论不正硕的是（）A.CB=CPb.PCAC=PABCc.PC是圆O的切线D.BC=BABP4.如图，已知AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PC切圆O于点C,CD±OP于D.若CD=6,CP=10，则圆O的半径长为；BP=._5.如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作。O,交斜边AB于点D，过点DBE作。O的切线，交BC边于点E.则正=.BC6.如图，直线AM与圆相切于点M,ABC与ADE是圆的两条割线，且BD±AD，连接MD、EC。则下面结论中，错误的结论是（）A.ZECA=90oIB.ZCEM=ZDrMA+ZDBAAM2=AD-AEAD-DE=AB-BC7.如图，AB切圆0于点A,AC为圆0的直径，BC交圆0于点D，E为CD的中点，且BD=5,AC=6,则CD=；AE=.8.如图，PC切圆0于点C，割线PAB经过圆心0，PC=4,PB=8，则tanZC0P=,△0BC的面积是9.如图，AB为。0的直径,AC切。0于点A，且过点C的割线,CMN交AB的延长线于点D，若CM=MN=ND,AC=2寸2，则CM=，AD=10.如图，&B,C,D是。。上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E.若ZBCD=110。，则ZDBE=()A.75。B.70。C.60。D.55。B档(提升精练)1.如图，已知OO的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为2.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点，且7DF=CF=x2,AF=2BF若CE与圆相切，且CE=测BE=23.如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD±PD.若PC=4，PB=2，则CD=.4.如图，A8是。O的直径，直线DE切。O于点D,且与AB延长线交于点C,若CD=<3,CB=1,则ZADE=5.如图，AC为。O的直径，OB1AC，弦BN交AC于点M.若OC=拘,OM=1,则MN=6.如图，PA是圆O的切线，切点为A,PO交圆O于B,C两点，PA=、§PB=1,则ZABC=（）A70。B60。C45。D30。7.如图所示，RtAABC内接于圆^ABC=60o,PA是圆的切线，A为切点，PB交AC于，AC=交圆于D.若PA=AE,PD=J3,BD=3际，则AP=8.如图，以AABC的边A8为直径的半圆交AC于点D,交8。于点E,EF人AB于点矿AF=3BF,BE=2EC=2,那么BCDE=,CD=.9.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,CE与圆相切交AB延长线上于点E,若DF=CF=2抵,AF:FB:BE=4:2:1,则线段CE的长为10.如图，直线PC与e。相切于点C,割线PAB经过圆心0,弦CD±AB于点E,PC=4,PB=8,则CE=C档（跨越导练）1.如图，△ABC是。0的内接三角形，PA是。0的切线，PB交AC于点E,交。0于点D.若PA=PE，ZABC=60。，PD=1,PB=9，则PA=；EC=2,如图，e0的直径A8与弦CD父于点尸，CP=-,PD=5,AP=1，则BDCB=3.如图，AB是圆O的直径，CD±AB于D,且AD=2BD,E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F.若CD=、互，则AB=，EF=4,如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B,C的切线交于点P,AP交圆于D,若AB=2,AC=1顶PC=,PD=5.AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DC=2^2，BC=2，则sinADCA=6.如图，已知圆0的半径为3，从圆0外一点A引切线AD和割线ABC,圆心0到AC的距离为2巨，AB=3，则切线AD的长为7.如图，BC是半径为2的圆0的直径，点P在BC的延长线上，PA是圆0的切线，点A在直径BC上的射影是0C的中点，则ZABP=；PB-PC=8.如图，从圆0外一点P引圆0的切线PA和割线PBC，已知PA=2^2，PC=4，圆心0到BC的距离为顼3，则圆0的半径为9.如图，AB是圆0的直径，P在AB的延长线上，PD切圆0于点C.已知圆0半径为的，0P=2，则PC=；ZACD的大小为10.如图M,B,C是图。上的三点，BE切图。于点B,D是CE与图0的交点.若/BAC=70。,则ZCBE=；若BE=2,CE=4,则CD=.AOCBDE典题探究例1：答案：1,2_解析：已知CD=总,AB=AC=2,由圆幂定理得CD2=DAxDB,DB=DA+AB,所以CD2=DAx(DA+AB),可以求出AD=1,而CD±AD,取AB的中点E,连接OC和OE,则半径R=OC=2.例2：答案：1解析：三角形CEF与三角形CBE相似，对应边成比例，所以客=H,即CECBCE2=CBxCF，所以CE=/5，而OC=4AB=3，所以OEOC2-OE2=2，所2以AE=1.例3：答案：pa=3pb=5解析：延长PO与圆O分别交于点D和点E，则PD=OP-OD=1,PE=PD+DE=3，由圆幂定理得PA2=PDxPE=3，所以PA=(3，过a点作AF±OP交OP于点F,则OF=；E31<3所以PB=—+—x—=222+寸3例4：答案：PA=2寸'3,R=7解析：由圆幂定理得PA2=PBxPC=12,所以PA=2v'3，设AO与PC交于点D,延长AO交圆于E，则ADxDE=BDxDC，所以2DE=24，DE=12，所以2R=2+12，R=7.演练方阵A档(巩固专练)1：答案：r=^3，ZEFD=15o解析：由圆幂定理得PD2=PExPF,1=PEx(2+、/3)，PE=2+、3=2-J3，所以EF=2R=PF-PE=2<3，R=\3，OP=2，PD=1，OD=/3，所以ZPOD=30。，所以ZEFD=-ZPOD=15=242：答案：亍解析：由圆幂定理得AP2=PBxPD=PB(PB+BD)，所以72=5x(5+BD)，所以八八24BD=——53：答案：D解析：由圆幂定理得PC2=PA(PA+AB)=PA(PA+2PA)=3PA2,所以PC=、*PA，所以d选项错误4：答案：半径R=7.5,BP=5解析：CD=6,CP=10,.所以DP=(CP2-CD2=8，由三角形相似得――=――，Y-XJLV^JL所以项=?U，所以R=—C=10X；=7.5，由圆幂定理得PC2=BPXAP，所以8104100=BP(BP+15)，所以BP=55：答案:解析：且BC±AC12连接CD，AC是圆—的直径，所以BC是圆—的切线所以CD±AB，BC经过半径OC的端点C，而而DE是圆O的切线，所以EC=ED，所以BE1BE=CE=-BC，所以——=_BC26：答案：D解析：因为四边形BDEC是圆的内接四边形，所以ZBDE+ZBCE=180。，因为ZBDE=90。，所以ZBCE=90。，a正确；直线AM与圆相切，由弦切角定理得ZAMD=ZMED，而ZABD=ZCED，所以ZCEM=ZMED+ZCED=ZDMA+/DBA，所以B正确；由圆幂定理得AM2=ADxAE，所以选项c正确7：答案：CD=4,AE=2\.石解析：设CD=x，则根据圆幂定理得AB2=BDxBC，而AB2=(5+CD)2-36，所以(5+CD)2-36=5x(5+CD)，所以CD2+5CD-36=0，所以CD=4，而AE=%AC2-CD2+DE2，所以AE=2如(4188：答案：tan/COP=—,S=一3VOBC5解析：由圆幂定理得PC2=PAXPB，所以16=8PA，所以PA=2，所以半径R=3,4OC=3,OP=5，所以正切值tan/COP=3，所以三角形OBC的面积118S=—xOBxOCxsin/COP=—AOBC259：答案：CM=2,AD=2<7解析：由圆幂定理得AC2=CMxCN=CMx2CM,所以8=2CM2,所以CM=2,而AD=%CD2-AC2=(368=2%710:答案：B解析：因为ABCD四点共圆，所以/A+/BCD=180。，而/BCD=110。，所以/A=70。，又因为BE与圆相切于点B，所以/DBE=/A=70。，所以选项B是正确的。B档(提升精练)1：答案：CD=2解析：延长CD交圆于点E，由相交弦定理得ADxDB=CDxDE，所以4x3=CD(8-CD)，求出CD=2或6,因为CD是小于4的，所以CD=22:答案：BE=解析：由相交弦定理得BFxAF=DFxFC，所以2BF2=2，所以BF=1，所以AF=2，而CE2=BExEA，所以Z=BEx(BE+3)，所以BE=上42123：答案：CD=—解析：设半径为R，连接OC，则由圆幂定理得PC2=PBxPA，已知PC=4,PB=2，而且OC±PD，所以42=2(2+2R)，所以R=3，而票=黑，所以熹=5，CD=胃C^^^^^^.^AC^,^^^354：答案：/ADE=60。解析：CDf'3，CB=1，由圆幂定理得CD2=CBxCA，而AC=3，AB=2,所以OC=2，连接OD，则OD±CD，在RtAODC中，OD=1，CO=2，CD=£，所以/DOC=60。，而在三角形BOD中，已知OB=OD，所以有/OBD=60。，/ADE=/ABD=60。5：答案：MN=1解析：延长BO交圆于点D，连接DN，则/BND=90。，而BD=^3，BM=2，由圆幂定理可得MCxMA=MBxMN，所以(侦'3+1)^-3-1)=2MN，所以MN=16：答案:B解析：由圆幂定理可得PA2=PCxP8,所以PC=3,BC=2,R=1,连接OA,所以三角形OPA是直角三角形，B是OP中点，所以AB=OB=OA,ZABC=60。7：答案:AP=2拓,AC=3寸3解析：由圆幂定理可得AP2=PBxPD，所以AP2=、没（志+3扬）=12，AP=L2，所以Bf3，所庭『ZE=6，AC=ABsin60=6祥K8.答案：ZCDE=60。，CD=M313解析：设圆心是O,半径为R，连接OE与AE，所以AF+FB=2R，所以FB=：R，2又因为EF±AB，OE=EB，所以AOEB是等边三角形，ZABE=60。，ZCDE=ZABE=60。，所以AE=BEtan60=2挡，所以AC=^AE2-CE2f13，由圆幂定理得CDxCA=CExCB，所以CDt*13139.答案：CE=*7解析：由圆幂定理得CE2=EBxEA=7EB2，而DFxFC=FBxFA，所以8=8EB2，所以EB=1，所以CE2=7，CE="10.答案：CE=?解析：由圆幂定理得PC2=PAxPB，所以16=8PA，所以PA=2，又因为AB=2R=6，___.312所以R=3，所以CE=PCsinZP=4x-=飞C档（跨越导练）1：答案：PA=3,EC=4解析:依题意根据圆幂定理得PA2=PBxPD，所以PA2=9，PA=3，PA=PE=3，所以三DE=2，BE=6，所以ZPAC=ZABC=60。，在三角形ade中，PE=PA角形APE是等边三角形，PE=PA=AE=3，所以BE=PB-PE=6,DE=PE-PD=2,而弦AC与BD相交于点E,所以BExDE=AExCE，所以CE=42：答案：/DCB=45。解析：由相交弦定理CPxPO=APxPB，所以PB=7，2R=AP+PB=8,R=4,所以OP=OA,AP=3，连接OD,则有OP2+OD2=PD2，所以/POD=90。，然后连接BD，则BD^2R,由正弦定理得.BD=2R,所以sin/DCB=g,/DCB是锐角，sin/DCB2所以ZDCB=45。3：答案：AB=3,EFt*3解析：已知ZACB=90。，,根据圆幂定理得CD2=ADxDB，因为AD=2DB，所以CD2=2DB2，所以CD=p'2BD=，所以AB=AD+DB=3，DE=1，所以CE=\，CD2+DE2f3，又因为EAxEB=ECxEF，所以£「=罕4.答案：PC=J3,PD=*7解析：连接CB，在AABC中，AB=2，AC=1，所以BC^X.AB2-AC2^3，/CAS=60。，过点B和点C的切线父于点P，所以/PCB=/PBC=60。，所以PB=PC=BC=福，在RtAAPB中，AB=2,PB=*2，所以AP^7，由圆幂定理得—PB23*7PB2=PDxPA，所以PD=——=—PA75：答案：sinZDCA=|解析：连结BD,OD,ab是圆O的直径，ZADB=90。，则CD2=CBxCA，所以2CA=（2\；2）2，所以CA=4，AB=2，所以半径R=1,在RtACOD中，sinZDCA=竺=1OC36：答案：AD=<15解析：已知圆O的半径R=3,而圆心O到弦AC的距离等于2技,所以BC=2提2—（2、.'2）2=2，又因为AB=3，AC=5，AD是圆o的切线，所以AD2=7：答案：ZABP=30。,PBxPC=12解析：点A到BC上的射影E是OC的中点，所以OE=；OA,ZAOP=60。，又因为AO=OB，所以ZABP=30。，在RtAAOP中，因为AO=2，ZAOP=60。，所以AP=2君，所以AP2=PBxPC=128：答案：半径R=2解析：已知PA与圆相切，而PBC是圆的割线，所以根据圆幂定理得到AP2=PBxPC，又因为AP=2J2，PC=4，所以PB=2，BC=2，又因为点O到弦BC的距离等于t'3，所以半径R=29：答案：PC=1，/ACD=75。解析：连接OC，AB是圆的直径，点P在AB的延长线上，圆O的半径R=<3，OP=2，所以PB=2^3，PA=2+J3，根据圆幂定理得PC2=PBxPA=1，所以PC=1，在RtAOCP中，ZOCP=90。，CP=1，OP=2，所以/COP=30。，ZOCA=15。，所以/ACD=75。10：答案：ZCBE=70。，CD=3解析：已知BE是圆的一条切线，ZCBE是弦切角，而且有ZBAC与ZCBE对应同一条弧，所以/BAC=ZCBE=70。，所以根据圆幂定理有BE2=EDxEC，已知BE=2，EC=4，所以ED=1，所以CD=4-1=3