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高中数学B选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算基础过关练题组一 空间向量概念的理解1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,下列说法正确的是( )A.A'D'=CBB.|AA'|=|AD|C.向量AD与C'D'共线D.向量AD与C'D'共面2.下列关于空间向量的命题中,正确的个数是( )①在同一条直线上的单位向量都相等;②只有零向量的模等于0;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1与BC1是相等向量;④在空间四边形ABCD中,AB与CD是相反向量;⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中,与AA1的模一定相等的向量一共有3个.A.2B.3C.4D.53.(2020辽宁东北育才中学月考)给出下列命题:①若将空间中所有单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;④空间中任意两个单位向量必相等;⑤零向量没有方向.其中真命题为 (填序号). 题组二 空间向量的线性运算4.(多选)(2020山东聊城模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则下列各式运算结果是AC1的为( )A.AB+AD+AA1B.AA1+A1B1+A1D1C.AB+BC+CC1D.AB+AC+CC15.(2021福建厦门海沧实验中学期中)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则B1M=( )A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.12a-12b+cD.-12a-12b+c6.(2021江苏南京期中)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=a,AB=b,AD=c,点P在A1C上,且A1P∶PC=2∶3,则AP=( )A.25a+35b+35cB.35a+25b+25cC.-25a+25b+35cD.35a-25b-25c7.化简:12(a+2b-3c)+523a-12b+23c-3(a-2b-c)= . 8.如图,在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中:(1)化简A1F1-EF-BA+FF1+CD+F1A1,并在图中标出化简结果对应的向量;(2)化简DE+E1F1+FD+BB1+A1E1,并在图中标出化简结果对应的向量.9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)化简:A1O-12AB-12AD;(2)设E是棱DD1上的点,且DE=23DD1,若EO=xAB+yAD+zAA1,试求实数x,y,z的值.题组三 空间向量的数量积10.(2022河北石家庄一中期末)在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=( )A.-1B.0C.1D.不确定11.(2020河南郑州外国语学校模拟)如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,F,G分别是AD,CD的中点,则FG·AB=( )A.34B.14C.12D.3212.(2020吉林一中阶段测试)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|等于( )A.5B.6C.4D.813.(2022北京理工大附中开学考试)已知空间向量a,b,若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°14.(2020山西大同高级中学模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列计算结果一定不等于0的是( )A.AD1·B1CB.BD1·ACC.DC·AD1D.BD1·B1C1能力提升练题组一 空间向量的线性运算1.在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,若△BCD是正三角形,且E为其重心,则AB+12BC-32DE-AD的化简结果是( ) A.ABB.2BDC.0D.2DE2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,若AB=a,AC=b,AA1=c,则CM= . 题组二 空间向量的数量积3.(2020江西宜春期末)如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是 ( )A.2BA·ACB.2AD·DBC.2FG·ACD.2EF·CB4.(多选)(2022湖北黄石二中月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论,其中正确的有( )A.(AA1+AD+AB)2=3AB2B.A1C·(A1B1-A1A)=0C.AD1与A1B的夹角为60°D.正方体的体积为|AB·AA1·AD|5.已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,
=135°,若m⊥n,则λ= . 6.如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3.若AB·AE+AC·AF=7,则EF与BC的夹角的余弦值为 . 7.(2021山东德州检测)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=1,且∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=π3.(1)求B1D的长;(2)求CD1与B1D夹角的余弦值.答案与分层梯度式解析第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算基础过关练1.D A'D'与CB长度相等,方向相反,故A'D'=-CB,A错误;无法确定|AA'|,|AD|的大小,故B错误;AD与C'D'不是共线向量,但可以平移到同一平面上,是共面向量,故C错误,D正确.2.A ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;③正确,AD1与BC1的模相等,方向相同;④错误,空间四边形ABCD中,AB与CD的模不一定相等,方向一定不相反;⑤错误,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与AA1的模一定相等的向量有A1A,BB1,B1B,CC1,C1C,共5个.故选A.3.答案 ③解析 ①假命题.若将空间中所有单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.4.ABC 选项A中,AB+AD+AA1=AC+AA1=AC1;选项B中,AA1+A1B1+A1D1=AA1+(A1B1+A1D1)=AA1+A1C1=AC1;选项C中,AB+BC+CC1=AC+CC1=AC1;选项D中,AB+AC+CC1=AB+(AC+CC1)=AB+AC1≠AC1.故选ABC.5.A B1M=B1A1+A1A+AM=B1A1+A1A+12AC=B1A1+A1A+12(AB+AD)=-a+c+12(a+b)=-12a+12b+c.6.B 如图,因为A1P∶PC=2∶3,所以A1P=25A1C,所以AP=AA1+A1P=AA1+25A1C=AA1+25(AC-AA1)=35AA1+25AC=35AA1+25(AB+AD)=35AA1+25AB+25AD,又AA1=a,AB=b,AD=c,所以AP=35a+25b+25c.故选B.7.答案 56a+92b+296c解析 原式=12+5×23-3a+12×2−5×12+6b+12×(-3)+5×23-3×(-1)c=56a+92b+296c.8.解析 (1)A1F1-EF-BA+FF1+CD+F1A1=AF+FE+AB+BB1+CD+DC=AE+AB1+0=AE+ED1=AD1.AD1如图所示.(2)DE+E1F1+FD+BB1+A1E1=DE+EF+FD+BB1+B1D1=DF+FD+BD1=0+BD1=BD1.BD1如图所示.9.解析 (1)∵AB+AD=AC,∴A1O-12AB-12AD=A1O-12(AB+AD)=A1O-12AC=A1O-AO=A1A.(2)∵EO=ED+DO=23D1D+12DB=23D1D+12(DA+AB)=23A1A+12DA+12AB=12AB-12AD-23AA1,∴x=12,y=-12,z=-23.10.B 令AB=a,AC=b,AD=c,则AB·CD+AC·DB+AD·BC=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.11.B 由题意得FG=12AC,所以FG·AB=12AC·AB=12×1×1×cos60°=14.故选B.12.A |AC1|2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB·AD+2AB·AA1+2AA1·AD=1+4+9+2+3+6=25,∴|AC1|=5,故选A.13.C 设向量a与b的夹角为θ.∵c⊥a,∴c·a=(a+b)·a=0,则|a|2+|a||b|cosθ=0,∴cosθ=-12,∴θ=120°.14.D 如图所示:对于A,当长方体为正方体时,AD1⊥B1C,此时AD1·B1C=0,故选项A不符合;对于B,当长方体的底面ABCD是正方形时,AC⊥BD,可以推出AC⊥平面BB1D1D,则BD1⊥AC,此时BD1·AC=0,故选项B不符合;对于C,易知DC⊥AD1,所以DC·AD1=0,故选项C不符合;对于D,因为B1C1∥A1D1,BD1与A1D1分别是直角三角形BA1D1的斜边和直角边,二者不可能垂直,所以B1C1与BD1不可能垂直,所以BD1·B1C1≠0.故选D.解题指导 判断两个向量的数量积的结果与0的关系可转化为应用立体几何中相关定理判断两直线是否垂直的问题.能力提升练1.C 如图所示,取BC的中点F,则12BC=BF,又E为正三角形BCD的重心,即DF上靠近F的三等分点,所以32DE=DF,则AB+12BC-32DE-AD=AB+BF-DF-AD=AF+FD-AD=AD-AD=0.2.答案 c+a3-2b3解析 如图,连接C1M并延长,交A1B1于点D.∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,AB=a,AC=b,AA1=c,∴CM=CC1+C1M=c+23C1D=c+23×12(C1A1+C1B1)=c+13(-b+AB-AC)=c+13(-b+a-b)=c+a3-2b3.3.C 由题意可知,===120°,∴2BA·AC=2|BA||AC|cos120°=-a2,2AD·DB=2|AD||DB|cos120°=-a2.∵E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,∴FG∥AC且FG=12AC,EF∥BD且EF=12BD,∴2FG·AC=AC2=a2,2EF·CB=BD·CB=|BD||CB|cos120°=-12a2.故选C.4.AB (AA1+AD+AB)2=(AA1+A1D1+D1C1)2=AC12=3AB2,故A正确;A1C·(A1B1-A1A)=A1C·AB1=(A1B+BC)·AB1=A1B·AB1+BC·AB1=0,故B正确;AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角,而△ACD1为正三角形,所以D1C与D1A的夹角为60°,故AD1与A1B的夹角是120°,故C错误;正方体的体积为|AB||AA1||AD|,故D错误.5.答案 -32解析 ∵|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,=135°,∴m·n=(a+b)·(a+λb)=a2+(λ+1)a·b+λb2=(32)2+(λ+1)×32×4cos135°+λ×42=0,即4λ+6=0,解得λ=-32.6.答案 16解析 由题意得BC2=9=(AC-AB)2=AC2+AB2-2AC·AB=9+4-2AC·AB,所以AC·AB=2.由AB·AE+AC·AF=7,可得AB·(AB+BE)+AC·(AB+BF)=AB2+AB·BE+AC·AB+AC·BF=4+AB·(-BF)+2+AC·BF=6+BF·(AC-AB)=6+12EF·BC=7.所以EF·BC=2,即4×3×cos=2,所以cos=16.7.解析 (1)由题可知,B1D=B1B+BA+AD=AD-AB-AA1,则|B1D|=(AD-AB-AA1)2=AD2+AB2+AA12-2AD·AB-2AD·AA1+2AB·AA1=12+22+32-2×(1×2+1×3-2×3)×12=15,因此,B1D的长为15.(2)由题知,CD1=BA1=AA1-AB,则|CD1|=(AA1-AB)2=AA12+AB2-2AA1·AB=32+22-2×3×2×12=7,∴CD1·B1D=(AA1-AB)·(AD-AB-AA1)=AA1·AD-AA1·AB-AA12-AB·AD+AB2+AB·AA1=AA1·AD-AA12-AB·AD+AB2=3×1×12-32-2×1×12+22=-92,∴cos=CD1·B1D|CD1||B1D|=-927×15=-310570.
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