［基础题组练］1.若双曲线C1：12—^2=1与C2：a2—b=1(a>0,b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4\；5则b=()TOC\o"1-5"\h\zA．2B．4C．6D．8b…八一।:l解析：选B.由题意得，a=2=b=2a,C2的焦距2c=425oc=\'a2+b?=2飞5nb=4,故选B.2.已知双曲线a—b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上，若IPF11TPF2I=4b，且双曲线的焦距为2%；5则该双曲线的方程为()A工1A.4—y2=1Cx2—注=1．x24X2V2rBE―2=1X2V2D-i—3=1|PF1|－|PF2|=2a=4b，解析：选A.由题意可得彳c2=a2+b2、2c=275,"a2=4,x2b=1则该双曲线方程为——y2=1.\2=1的一个焦点，点P在C上，O为B.2x2.(2019・高考全国卷111)已知F是双曲线C：4坐标原点.若IOPI=IOFI,则^OPF的面积为()A.2乙C.2乙D.2乙解析：选B.因为c2=a2+b2=9,所以I。P1=10W=3.设点P的坐标为(x,y)，则x2+y2=9,把x2=9—y2代入双曲线方程得|y|=3,所以S^0PF=1|OFI•IyPI=2.故选B..已知双曲线x2—b2=1(a>0,b>0),过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A,B两a22点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A.(2,+8)B.(1,2)C.(l,+8)D(1,3)b2b2解析：选a.由双曲线的性质可得14b1=京，即以ab为直径的圆的半径为a，而右顶点与b2左焦点的距离为a+c,由题意可知一>a+c,整理得c2—2a2—ac>0,两边同除以a2,则e2一ae—2>0,解得e>2或e<—1,又双曲线的离心率大于1,所以e>2..已知双曲线的焦距为6,其上一点P到两焦点的距离之差为一4,则双曲线的
标准
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方[2c=6,即2a=4,a=2,c=3.程为解析：若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为x2—^=1.由题意得a2b2又c2=a2+b2,故b2=5.所以双曲线的标准方程为x2一5=1.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为02-b=1.同理可得a12,m2x21所以b2=5.所以双曲线的标准方程为:一女=1.综上[c1=3,145所述，双曲线的标准方程为x2—5=1或42—x2=1
答案
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：x2—91或宁/1.若双曲线x2—^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,—4),则此双曲线的离心率为a2b2解析：由双曲线的渐近线过点(3,—4)知b=4,a3所以b=$又b2=c2—a2,所以工=16,a29a29即e2—1=竽，所以e2=与，所以e=3.答案：3.已知椭圆D：5^+21=1与圆M：x2+(y—5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.解：椭圆D的两个焦点坐标为(一5,0),(5,0),因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5.x2y2设双曲线G的方程为一一人=1(a>0,b>0),a2b2所以渐近线方程为bx±ay=0且a2+b2=25,又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.所以—：=3,得a=3,b=4,\：b2+a2所以双曲线G的方程为5一1|=1.8.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4,0),实轴长为4\13.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y=kx+2,行与双曲线C左支交于A,B两点，求k的取值范围.x2y2解：(1)设双曲线C的方程为——.=1(a>0,b>0).a2b2由已知得：a=2%氏c=4,再由a2+b2=c2,得b2=4,所以双曲线C的方程为苦一142=JL乙(2)设A(xA,yA),B(xB,yB)),将y=kx+2\：2与三一；=1联立，得(1—3k2)x2—12\；2kx一36=0.由题意知1—3k2*0,△=(—12血k)2+4X(1—3k2)X36>0,|,12)knxA+xB=1—3k2<0，、-36xAxB=1—3k2>0,解得W
b>0)和双曲线E：x2—y2=1有相同a2b2的焦点F1,F2,且离心率之积为1,P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析：选B.由题意可知，cX..'2=1^c=卷a,a12因为c="5,所以a=2,b2=a2—c2=2,不妨设P与F2在y轴右侧，则!1pF1|+|PF2|=4'［|PF11—IPF2I=2,得1PF1|2=IF1FJ2+IPF2I2,所以△F1PF2为直角三角形，故选B.X22.（2018.高考全国卷I）已知双曲线C：§—y2=1,O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,乂若4OMN为直角三角形，则IMNI=（）a.2乙32v3D.4解析：选B.法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为Ly-—聒x.设两渐近线夹角为2%则有tan所以%=30°.所以NMON=2a=60°.又^OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN±ON,如图所示.在RtAONF中，IOFI=2,则IONI=\.'3.则在RtAOMN中，IMNI=IONI-tan2a=3•tan60°=3.故选B.X23法二：因为双曲线y—y2=1的渐近线方程为y=±-y-x，所以NMON=60.不妨设过点F3的直线与直线y=弓-x交于点M,由^OMN为直角三角形，不妨设NOMN=90°,则NMFO=60°,又直线MN过点F（2,0）,所以直线MN的方程为y=—ax—2）,y=—小(x—2),理得,y=3x,33x=2,(所以M(i，ly=2,=43，所以IOMI=所以IMNI=fQOMI=3,故选B.3.（综合型）已知双曲线x2—5=1，过点M（m,0）作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点.若^AOB是锐角三角形（O为坐标原点），则实数m的取值范围是,解析：由题意得A（m,2,J皆—1J,B（m,—2m2—1J,所以OA=(m,2T-1J,Om,一2、/m2—1）因为△AOB是锐角三角形，所以NAOB是锐角，即（9A与Ob的夹角为锐角，所以OA,OB>0,即m2—专~+4>0,解得一243Vm<2\；3.由过点M（m,0）作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点可知m<一的或m>\；&故实数m的取值范围是（一2出,—-：3）U（-,,13,2、。）.答案：(一2y3，一、:3)U(■-,；'3,2\"3)V24.(2019-河北名校名师俱乐部二调)已知F1，F2分别是双曲线％2-b=1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若IAF2=2且NF1AF2=45°,延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于.解析：由题意知a=1,由双曲线定义知AF1I-|AFJ=2a=2,IBFJ—BF21=2a=2,所以IAFJ=2+AF21=4,IBFJ=2+IBF2I.由题意知IABI=IAF2I+IBF2I=2+IBF21,所以1BAI=IBFJ,所以△BAF1为等腰三角形，因为NF1AF2=45°,所以NABF1=90°,所以△BAF1为等腰直角三角形.所以IBAI=IBF」=号IAF」=E2X4=2\；5.所以S〃“=1BAI•IBF}I=1X2\l'2X2-,'，21212△Fab212答案：45.已知双曲线C：+-b；=1(a>0,b>0)的离心率为小，点(\：30)是双曲线的一个顶点.a22(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A,B，求IABI.解：(1)因为双曲线C:x2—V=1(a>0,b>0)的离心率为\；3点(\氏0)是双曲线的一个a2b2顶点，Jc=%'§,所以］a解得c=3,b=、R,、a=布,所以双曲线的方程为x—V2=1.36(2)双曲线%2—V2=1的右焦点为F2(3,0),3所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为v=弓-(%—3).<联立1一看1V=3得5%2+6%—27=0.(%—3),627设4(11,匕)，B(%2,y2)，贝1%1+%2=—5，%1%2=—"5".所以145|=#0W5J*'『=呼6.（综合型）设4,B分别为双曲线%2—b2=1（。>0,b>0）的左、右顶点，双曲线的实轴长a22为4百，焦点到渐近线的距离为'Q.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=亨X-2与双曲线的右支交于M,N两点，且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD，求t的值及点D的坐标.解：（1）由题意知a=2\13,因为一条渐近线为y=b，即b%—ay=0.a所以由焦点到渐近线的距离为的,得,'Tbq1-='总"\；b2十a2又因为c2=a2+b2,所以b2=3,所以双曲线的方程为12—5=1.JL乙J(2)设M(%1,y1),N(%2,y2),D(X0,y0),其中%户2%”.则%1+%2=t%0,y1+y2=ty0.将直线方程y=彳*%—2代入双曲线方程今一y3=1得%2—16%；3%+84=0,则%1+%2=16%；3y1+y2=-3((%1+%2)—4=12.<所以%0_4\'3y0=3,喑—,32=1.解得k=4\过[y0=3.所以t=4,点D的坐标为（4\口，3）.
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