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人教版高中数学选修2-2教案全册

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人教版高中数学选修2-2教案全册人教版高中数学选修2-2教案全册人教版高中数学选修2-2教案全册PAGE思维的发掘能力的飞跃韩老师PAGE\*MERGEFORMAT74人教版高中数学选修2-2教案全册选修2-2第一章导数及其应用目录§变化率问题(新授课)§导数的概念(新授课)§导数的几何意义(新授课)§几个常用函数的导数(新授课)§第一课时:基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(新授课)§第二课时:复合函数的求导法则(新授课)§函数的单调性与导数(2课时)(新授课)§函数的极值与导数(2课时)(新授课)§函数的最大(小)值与导数(2...

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人教版高中数学选修2-2 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 全册人教版高中数学选修2-2教案全册PAGE思维的发掘能力的飞跃韩老师PAGE\*MERGEFORMAT74人教版高中数学选修2-2教案全册选修2-2第一章导数及其应用 目录 工贸企业有限空间作业目录特种设备作业人员作业种类与目录特种设备作业人员目录1类医疗器械目录高值医用耗材参考目录 §变化率问题(新授课)§导数的概念(新授课)§导数的几何意义(新授课)§几个常用函数的导数(新授课)§第一课时:基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(新授课)§第二课时:复合函数的求导法则(新授课)§函数的单调性与导数(2课时)(新授课)§函数的极值与导数(2课时)(新授课)§函数的最大(小)值与导数(2课时)(新授课)§生活中的优化问题举例(2课时)(新授课)§曲边梯形的面积(新授课)§汽车行驶的路程(新授课)§定积分的概念(新授课)§微积分基本定理(新授课)§定积分的简单应用(两课时)(新授课)第一章导数及其应用一、课程目标:微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了详尽代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数、定积分都是微积分的核心概念,它们有极其丰富的实际背景和广泛应用。在本章中,学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数概念,了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。学生还将经历求曲边梯形的面积、汽车行驶路程等实际问题的过程,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础。通过本章的学习,学生将体会导数的思想极其丰富内涵,感受导数在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值。二、学习目标:1、变化率与导数(1)、通过分析实例,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。(2)、通过函数图像直观地理解导数的几何意义。2、导数的计算(1)、能根据导数的定义,求函数SKIPIF1<0的导数。(2)、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数。(3)、会使用导数公式表。3、导数在研究函数中的应用(1)、结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。(2)、结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数球不超过三次的多项函数的极大值、极小值。4、生活中的优化问题举例通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。5、定积分与微积分基本定理(1)、通过实例,从问题情境中了解定积分的实际背景,借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念。(2)、通过实例,直观了解微积分基本定理的含义。(3)、应用定积分解决一些简单的几何和物理问题。6、数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。三、本章知识结构平均速度瞬时速度平均变化率瞬时变化率割线斜率切线斜率导数基本初等函数导数公式导数运算法则导数与函数单调性的关系与极(最)值的关系微积分基本定理曲边梯形的面积变速直线运动的路程定积分定积分在几何、物理中的简单应用四、课时安排:变化率与导数约4课时导数的计算约3课时导数在研究函数中的应用约4课时生活中的优化问题举例约3课时定积分的概念约4课时微积分基本定理约2课时定积分的简单应用约2课时§变化率问题(新授课)一、教学目标:知识与技能:了解函数的平均变化率的概念,会求函数的平均变化率。过程与方法:体会有特殊到一般的思维方法情感、态度与价值观:感受由平均变化率刻画现实问题的过程。二、教学重点与难点:重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;难点:平均变化率的概念.三、教学过程:(一).创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.(二).讲授新课1、提出问题问题1:气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是SKIPIF1<0如果将半径r表示为体积V的函数,那么SKIPIF1<0分析:SKIPIF1<0,当V从0增加到1时,气球半径增加了SKIPIF1<0气球的平均膨胀率为SKIPIF1<0当V从1增加到2时,气球半径增加了SKIPIF1<0hto气球的平均膨胀率为SKIPIF1<0可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?SKIPIF1<0问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=++10.如何用运动员在某些时间段内的平均速SKIPIF1<0度粗略地描述其运动状态?思考计算:SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的平均速度SKIPIF1<0在SKIPIF1<0这段时间里,SKIPIF1<0;在SKIPIF1<0这段时间里,SKIPIF1<0探究:计算运动员在SKIPIF1<0这段时间里的平均速度,并思考以下问题:⑴运动员在这段时间内使静止的吗?⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究过程:如图是函数h(t)=++10的图像,结合图形可知,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,虽然运动员在SKIPIF1<0这段时间里的平均速度为SKIPIF1<0,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.2、平均变化率概念:(1).上述问题中的变化率可用式子SKIPIF1<0表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率(2).若设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(这里SKIPIF1<0看作是对于x1的一个“增量”可用x1+SKIPIF1<0代替x2,同样SKIPIF1<0)(3)。则平均变化率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0思考:观察函数f(x)的图象平均变化率SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示什么?f(x2)y=f(x)y△y=f(x2)-f(x1)f(x1)直线AB的斜率△x=x2-x1x2x1xO(三).典例分析例1.已知函数f(x)=SKIPIF1<0的图象上的一点SKIPIF1<0及临近一点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.解:SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的平均变化率。解:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的平均变化率为SKIPIF1<0(四).课堂练习1.质点运动规律为SKIPIF1<0,则在时间SKIPIF1<0中相应的平均速度为.2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=时割线的斜率.(五).课时小结1.平均变化率的概念2.函数在某点处附近的平均变化率§导数的概念(新授课)一、教学目标:知识与技能:1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,会求函数在某点的导数过程与方法:经历由实例抽象出导数概念的过程,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。情感、态度与价值观:经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题问题的过程,感受导数在现实问题中的应用,初步认识导数的应用价值。二、教学重点与难点:重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念;难点:导数的概念.三、教学过程:(一).创设情景1、复习提问:平均变化率2、探究:计算运动员在SKIPIF1<0这段时间里的平均速度,并思考以下问题:⑴运动员在这段时间内使静止的吗?⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究过程:如图是函数h(t)=++10的图像,结合图形可知,SKIPIF1<0,hto所以SKIPIF1<0,虽然运动员在SKIPIF1<0这段时间里的平均速度为SKIPIF1<0,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二).新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,SKIPIF1<0时的瞬时速度是多少?考察SKIPIF1<0附近的情况:(引导学生观察课本第4页表格)思考:当SKIPIF1<0趋近于0时,平均速度SKIPIF1<0有什么样的变化趋势?结论:当SKIPIF1<0趋近于0时,即无论SKIPIF1<0从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度SKIPIF1<0都趋近于一个确定的值SKIPIF1<0.从物理的角度看,时间SKIPIF1<0间隔无限变小时,平均速度SKIPIF1<0就无限趋近于史的瞬时速度,因此,运动员在SKIPIF1<0时的瞬时速度是SKIPIF1<0为了表述方便,我们用SKIPIF1<0表示“当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0趋近于0时,平均速度SKIPIF1<0趋近于定值SKIPIF1<0”小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2.导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:SKIPIF1<0我们称它为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0出的导数,记作SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0说明:(1)导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率(2)SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0(三).典例分析例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+(Δx)2  再求SKIPIF1<0再求SKIPIF1<0解:法一定义法(略)法二:SKIPIF1<0(2)求函数f(x)=SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.解:SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第SKIPIF1<0时,原油的温度(单位:SKIPIF1<0)为SKIPIF1<0,计算第SKIPIF1<0时和第SKIPIF1<0时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:在第SKIPIF1<0时和第SKIPIF1<0时,原油温度的瞬时变化率就是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0根据导数定义,SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0同理可得:SKIPIF1<0在第SKIPIF1<0时和第SKIPIF1<0时,原油温度的瞬时变化率分别为SKIPIF1<0和5,说明在SKIPIF1<0附近,原油温度大约以SKIPIF1<0的速率下降,在第SKIPIF1<0附近,原油温度大约以SKIPIF1<0的速率上升.§导数的几何意义(新授课)一、教学目标:知识与技能:理解导数的几何意义,会求曲线的切线方程。过程与方法:经历导数几何意义的学习过程,感受极限思想,体会用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法,体会用导数的几何意义分析图像上点的变化情况的方法。情感、态度与价值观:通过本节的学习,体会导数与曲线的联系,初步认识数学的科学价值,发展理性思维能力。二、教学重点与难点重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义;难点:导数的几何意义.三、教学过程:(一).创设情景复习提问:1、平均变化率、割线的斜率2、瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况,导数SKIPIF1<0的几何意义是什么呢?(二).新课讲授1、曲线的切线及切线的斜率:观察课本第7页图,当SKIPIF1<0沿着曲线SKIPIF1<0趋近于点SKIPIF1<0时,割线SKIPIF1<0的变化趋势是什么?我们可以发现,当点SKIPIF1<0沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线SKIPIF1<0趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题:⑴割线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0与切线PT的斜率SKIPIF1<0有什么关系?⑵切线PT的斜率SKIPIF1<0为多少?容易知道,割线SKIPIF1<0的斜率是SKIPIF1<0,当点SKIPIF1<0沿着曲线无限接近点P时,SKIPIF1<0无限趋近于切线PT的斜率SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0说明:(1)设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在SKIPIF1<0处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.2、导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点SKIPIF1<0处的切线的斜率,即SKIPIF1<0说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点SKIPIF1<0处的变化率SKIPIF1<0,得到曲线在点SKIPIF1<0的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.3、导函数:由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,SKIPIF1<0是一个确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,即:SKIPIF1<0注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.4、函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的导数SKIPIF1<0、导函数SKIPIF1<0、导数之间的区别与联系。(1)函数在一点处的导数SKIPIF1<0,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数(3)函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的导数SKIPIF1<0就是导函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的函数值,这也是求函数在点SKIPIF1<0处的导数的方法之一。(三).典例分析例1:(1)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.(2)求函数y=3x2在点SKIPIF1<0处的切线方程.解:(1)SKIPIF1<0,所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0(2)因为SKIPIF1<0所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0例2.如图课本第8页图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数SKIPIF1<0,根据图像,请描述、比较曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0附近的变化情况.解:我们用曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0处的切线,刻画曲线SKIPIF1<0在上述三个时刻附近的变化情况.当SKIPIF1<0时,曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴,所以,在SKIPIF1<0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.当SKIPIF1<0时,曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0,所以,在SKIPIF1<0附近曲线下降,即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递减.当SKIPIF1<0时,曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0,所以,在SKIPIF1<0附近曲线下降,即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递减.从图可以看出,直线SKIPIF1<0的倾斜程度小于直线SKIPIF1<0的倾斜程度,这说明曲线在SKIPIF1<0附近比在SKIPIF1<0附近下降的缓慢.例3.如图课本第9页图,它表示人体血管中药物浓度SKIPIF1<0(单位:SKIPIF1<0)随时间SKIPIF1<0(单位:SKIPIF1<0)变化的图象.根据图像,估计SKIPIF1<0时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到SKIPIF1<0).解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度SKIPIF1<0在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线SKIPIF1<0在此点处的切线的斜率.如图,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作SKIPIF1<0处的切线,并在切线上去两点,如SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则它的斜率为:SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:SKIPIF1<0药物浓度瞬时变化率SKIPIF1<00(四).课堂练习1.求曲线y=f(x)=x3在点SKIPIF1<0处的切线;2.求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线.(五).课时小结1.曲线的切线及切线的斜率;2.导数的几何意义§几个常用函数的导数(新授课)一、教学目标:知识与技能:能够用导数的定义求几个常用函数的导数,会利用它们解决简单的问题。过程与方法:通过本节的学习,掌握利用导数的定义求导数的方法。情感、态度与价值观:通过本节的学习,进一步体会导数与物理知识之间的联系,提高数学的应用意识。二、教学重点与难点:重点:五种常见函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的导数公式及应用难点:五种常见函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的导数公式三、教学过程:(一).创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数SKIPIF1<0,如何求它的导数呢?由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.(二).新课讲授1.函数SKIPIF1<0的导数根据导数定义,因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0图像上每一点处的切线的斜率都为0.若SKIPIF1<0表示路程关于时间的函数,则SKIPIF1<0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.2.函数SKIPIF1<0的导数因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0图像上每一点处的切线的斜率都为1.若SKIPIF1<0表示路程关于时间的函数,则SKIPIF1<0可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.3.函数SKIPIF1<0的导数因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0图像上点SKIPIF1<0处的切线的斜率都为SKIPIF1<0,说明随着SKIPIF1<0的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当SKIPIF1<0时,随着SKIPIF1<0的增加,函数SKIPIF1<0减少得越来越慢;当SKIPIF1<0时,随着SKIPIF1<0的增加,函数SKIPIF1<0增加得越来越快.若SKIPIF1<0表示路程关于时间的函数,则SKIPIF1<0可以解释为某物体做变速运动,它在时刻SKIPIF1<0的瞬时速度为SKIPIF1<0.4.函数SKIPIF1<0的导数因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<05.函数SKIPIF1<0的导数因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0推广:若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(三).课堂练习:课本P13探究,P14探究(四).课时小结:函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(五).布置作业:习题第1题四、课后反思§第一课时:基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(新授课)一、教学目标:知识与技能:能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式,求简单函数的导数。过程与方法:掌握运用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式来求导数的方法。情感、态度与价值观:通过利用导数方法解决实际问题的过程,体会导数在现实生活中的应用价值,提高数学应用能力。二、教学重点与难点:重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点:基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用三、教学过程:(一).创设情景复习:五种常见函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的导数公式及应用(二).新课讲授1、基本初等函数的导数公式表函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、导数的运算法则导数运算法则1.SKIPIF1<02.SKIPIF1<03.SKIPIF1<0推论:SKIPIF1<0(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)(三).典例分析例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为SKIPIF1<0,物价SKIPIF1<0(单位:元)与时间SKIPIF1<0(单位:年)有如下函数关系SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时的物价.假定某种商品的SKIPIF1<0,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到)解:根据基本初等函数导数公式表,有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(元/年)因此,在第10个年头,这种商品的价格约为元/年的速度上涨.例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0;(3)SKIPIF1<0;(4)SKIPIF1<0;(5)SKIPIF1<0.(6)SKIPIF1<0;(7)SKIPIF1<0解:(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0。(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0。(5)SKIPIF1<0SKIPIF1<0(6)SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0。(7)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【点评】①求导数是在定义域内实行的.②求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为SKIPIF1<0时所需费用(单位:元)为SKIPIF1<0求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0,所以,纯净度为SKIPIF1<0时,费用的瞬时变化率是元/吨.因为SKIPIF1<0,所以,纯净度为SKIPIF1<0时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.函数SKIPIF1<0在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,SKIPIF1<0.它表示纯净度为SKIPIF1<0左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为SKIPIF1<0左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.(四).课堂练习:1.课本P18练习12.已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;(y=-12x+8)(五).课时小结:(1)基本初等函数的导数公式表(2)导数的运算法则(六).布置作业:习题A组4(1)(2)(3)四、课后反思:§第二课时:复合函数的求导法则(新授课)一、教学目标知识与能力:理解并掌握复合函数的求导法则.过程与方法:掌握运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数导数的方法。情感、态度与价值观:体会导数在现实生活中的应用价值,提高数学应用能力。二、教学重点与难点:重点:复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.难点:正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.三、教学过程(一).创设情景,复习引入1、基本初等函数的导数公式表(学生填表)函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、导数的运算法则导数运算法则1.SKIPIF1<02.SKIPIF1<03.SKIPIF1<0推论:SKIPIF1<0(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)(二).新课讲授复合函数的概念一般地,对于两个函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,如果通过变量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0可以表示成SKIPIF1<0的函数,那么称这个函数为函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的复合函数,记作SKIPIF1<0。复合函数的导数复合函数SKIPIF1<0的导数和函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的导数间的关系为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0的导数等于SKIPIF1<0对SKIPIF1<0的导数与SKIPIF1<0对SKIPIF1<0的导数的乘积.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(三).典例分析例1、求下列函数的导数:(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0;(3)SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0均为常数).解:(1)函数SKIPIF1<0可以看作函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的复合函数。根据复合函数求导法则有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。(2)函数SKIPIF1<0可以看作函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的复合函数。根据复合函数求导法则有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。(3)函数SKIPIF1<0可以看作函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的复合函数。根据复合函数求导法则有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。例2、求SKIPIF1<0的导数.解:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【点评】求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.例3、求SKIPIF1<0的导数.解:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.例4、求y=sin4x+cos4x的导数.【解法一】y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2cos2x=1-SKIPIF1<0sin22x=1-SKIPIF1<0(1-cos4x)=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0cos4x.y′=-sin4x.【解法二】y′=(sin4x)′+(cos4x)′=4sin3x(sinx)′+4cos3x(cosx)′=4sin3xcosx+4cos3x(-sinx)=4sinxcosx(sin2x-cos2x)=-2sin2xcos2x=-sin4x【点评】解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数,应注意不漏步.例5、曲线y=x(x+1)(2-x)有两条平行于直线y=x的切线,求此二切线之间的距离.【解】y=-x3+x2+2xy′=-3x2+2x+2令y′=1即3x2-2x-1=0,解得x=-SKIPIF1<0或x=1.于是切点为P(1,2),Q(-SKIPIF1<0,-SKIPIF1<0),过点P的切线方程为,y-2=x-1即x-y+1=0.显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离,故所求距离为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(四).课堂练习1.求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x;(2)SKIPIF1<0;(3)SKIPIF1<02.求SKIPIF1<0的导数(五).课时小结:1、复合函数的求导法则.2、运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数导数的方法。(六).布置作业:习题A组5、6课后反思§函数的单调性与导数(2课时)(新授课)一、教学目标:知识与技能:借助与函数的图像了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。过程与方法:通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法。情感、态度与价值观:通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程,体会知识间的相互关系和运动变化的观点,提高理性思维能力。二、教学重点与难点:重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间难点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间三、教学过程:(一).课题引入函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用.(二).新课讲授1.提出问题:观察课本22页图(1),它表示跳水运动中高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0变化的函数SKIPIF1<0的图像,(2)表示高台跳水运动员的速度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0变化的函数SKIPIF1<0的图像.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?通过观察图像,我们可以发现:(1)、运动员从起点到最高点,离水面的高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0的增加而增加,即SKIPIF1<0是增函数.相应地,SKIPIF1<0.(2)、从最高点到入水,运动员离水面的高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0的增加而减少,即SKIPIF1<0是减函数.相应地,SKIPIF1<0.2.函数的单调性与导数的关系观察下面课本23页图函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.如图,导数SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率.在SKIPIF1<0处,SKIPIF1<0,切线是“左下右上”式的,这时,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递增;在SKIPIF1<0处,SKIPIF1<0,切线是“左上右下”式的,这时,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递减.结论:函数的单调性与导数的关系在某个区间SKIPIF1<0内,如果SKIPIF1<0,那么函数SKIPIF1<0在这个区间内单调递增;如果SKIPIF1<0,那么函数SKIPIF1<0在这个区间内单调递减.说明:特别的,如果SKIPIF1<0,那么函数SKIPIF1<0在这个区间内是常函数.3.求解函数SKIPIF1<0单调区间的步骤:(1)确定函数SKIPIF1<0的定义域;(2)求导数SKIPIF1<0;(3)解不等式SKIPIF1<0,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式SKIPIF1<0,解集在定义域内的部分为减区间.(三).典例分析例1.已知导函数SKIPIF1<0的下列信息:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0试画出函数SKIPIF1<0图像的大致形状.解:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0在此区间内单调递增;当SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;可知SKIPIF1<0在此区间内单调递减;当SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.综上,函数SKIPIF1<0图像的大致形状如图所示.例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间.(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0;(4)SKIPIF1<0解:(1)因为SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0因此,SKIPIF1<0在R上单调递增,如图所示.(2)因为SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0单调递增;当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0单调递减;函数SKIPIF1<0的图像如图(2)所示.(3)因为SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0因此,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减,如图(3)所示.(4)因为SKIPIF1<0,所以.当SKIPIF1<0,即时,函数SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0,即时,函数SKIPIF1<0;函数SKIPIF1<0的图像如图所示.注:(3)、(4)为学生练习例3.如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度SKIPIF1<0与时间SKIPIF1<0的函数关系图像.分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解:SKIPIF1<0思考:例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.如图所示,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0内的图像“陡峭”,在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0内的图像“平缓”.例4.求证:函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是减函数.证明:因为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是减函数.说明:证明可导函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的单调性步骤:(1)求导函数SKIPIF1<0;(2)判断SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的符号;(3)做出结论:SKIPIF1<0为增函数,SKIPIF1<0为减函数.例5.已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数,求实数SKIPIF1<0的取值范围.解:SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数,所以SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立,解之得:SKIPIF1<0所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则SKIPIF1<0;若函数单调递减,则SKIPIF1<0”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.例6.已知函数y=x+SKIPIF1<0,试讨论出此函数的单调区间.解:y′=(x+SKIPIF1<0)′=1-1·x-2=SKIPIF1<0令SKIPIF1<0>0.解得x>1或x<-1.∴y=x+SKIPIF1<0的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).令SKIPIF1<0<0,解得-1<x<0或0<x<1.∴y=x+SKIPIF1<0的单调减区间是(-1,0)和(0,1)(四).课堂练习SKIPIF1<01.求下列函数的单调区间(1)、f(x)=2x3-6x2+7(2)、f(x)=SKIPIF1<0+2x(3)、f(x)=sinx,xSKIPIF1<0(4)、SKIPIF1<02.课本26页练习1(五).课时小结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数SKIPIF1<0单调区间(3)证明可导函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的单调性(六).布置作业:习题A组1、2四、课后反思:§函数的极值与导数(2课时)(新授课)一、教学目标:知识与技能:了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值。过程与方法:通过本节的学习,掌握利用导数求函数的极大值、极小值。情感、态度与价值观:通过本节的学习,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。二、教学重点与难点:重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.三、教学过程:(一).创设情景观察下图,我们发现,SKIPIF1<0时,高台跳水运动员距水面高度最大.那么,函数SKIPIF1<0在此点的导数是多少呢此点附近的图像有什么特点相应地,导数的符号有什么变化规律放大SKIPIF1<0附近函数SKIPIF1<0的图像,课本27页图与.可以看出SKIPIF1<0;在SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0单调递增,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0单调递减,SKIPIF1<0;这就说明,在SKIPIF1<0附近,函数值先增(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)后减(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0).这样,当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的附近从小到大经过SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0先正后负,且SKIPIF1<0连续变化,于是有SKIPIF1<0.对于一般的函数SKIPIF1<0,是否也有这样的性质呢?附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号(二).新课讲授1.提出问题:图表示跳水运动中高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0变化的函数SKIPIF1<0的图像图表示高台跳水运动员的速度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0变化的函数SKIPIF1<0的图像.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?通过观察图像,我们可以发现:运动员从起点到最高点,离水面的高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0的增加而增加,即SKIPIF1<0是增函数.相应地,SKIPIF1<0.从最高点到入水,运动员离水面的高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0的增加而减少,即SKIPIF1<0是减函数.相应地,SKIPIF1<0.2.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.如图,导数SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率.在SKIPIF1<0处,SKIPIF1<0,切线是“左下右上”式的,这时,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递增;在SKIPIF1<0处,SKIPIF1<0,切线是“左上右下”式的,这时,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递减.结论:函数的单调性与导数的关系在某个区间SKIPIF1<0内,如果SKIPIF1<0,那么函数SKIPIF1<0在这个区间内单调递增;如果SKIPIF1<0,那么函数SKIPIF1<0在这个区间内单调递减.说明:(1)特别的,如果SKIPIF1<0,那么函数SKIPIF1<0在这个区间内是常函数.3.求解函数SKIPIF1<0单调区间的步骤:(1)确定函数SKIPIF1<0的定义域;(2)求导数SKIPIF1<0;(3)解不等式SKIPIF1<0,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式SKIPIF1<0,解集在定义域内的部分为减区间.(三).典例分析例1.求SKIPIF1<0的极值解:因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0。SKIPIF1<0下面分两种情况讨论:(1)当SKIPIF1<0>0,即SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0时;(2)当SKIPIF1<0<0,即SKIPIF1<0时.当x变化时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的变化情况如下表:SKIPIF1<0SKIPIF1<0-2(-2,2)2SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0-0+SKIPIF1<0↗极大值SKIPIF1<0↘极小值SKIPIF1<0↗因此,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0有极大值,并且极大值为SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0有极小值,并且极小值为SKIPIF1<0。函数SKIPIF1<0的图像如图所示。例2、求y=(x2-1)3+1的极值解:y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2令y′=0解得x1=-1,x2=0,x3=1当x变化时,y′,y的变化情况如下表SKIPIF1<0SKIPIF1<0-1(-1,0)0(0,1)1SKIP
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