第六讲：分段函数与二次函数第一部分：分段函数6．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝gx＋x＋4，x
0，a，c∈R)．(1)设a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；2(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解(1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝a＋c3a，由条件a>c>0，a＋c2a2得2a>a＋c，故3a<3a＝3<1，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2ca，得c2－c<0，所以00，f(1)＝a－c>0，则a>c>0.f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴是a＋c因为二次函数x＝3a.而fa＋c－a2＋c2－ac＝3a<0，3a所以函数f(x)在区间a＋c和a＋c，1内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)0，3a3a内有两个零点．3．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．解法一(换元法)设t＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根．令f(t)＝t2＋at＋a＋1.＝a2－4（a＋1）≥0，①若方程(*)有两个正实根t1，t2，则t1＋t2＝－a>0，解得－10，②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；③当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．综上，a的取值范围是(－∞，2－22]．322x＋1法二(分离变量法)由方程，解得a＝－x＋1，设t＝2x(t>0)，2t2＋12－1（t＋1）＋2则a＝－t＋1＝2－t＋1，其中t＋1>1，＝－t＋t＋1由基本不等式，得(t＋1)＋2≥22，当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－22.t＋1综上，a的取值范围是(－∞，2－22]．4．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.当＝0，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当>0，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知，m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.5．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．解f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x1＝－2a.①当－2a1≤－1，即0≤a≤12时，f－1≤0，a≤5，须使即f1≥0，a≥1，∴a的解集为?.②当－1<－112a<0，即a>2时，11f－2a≤0，即－2a－3－a≤0，须使f1≥0，a≥1，解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．第三部分：解答题1．已知函数f(x)x21x2kx．（1）若对于区间0,内的任意x，总有f(x)0成立，求实数k的取值范围；（2）若函数f(x)在区间0,2内有两个不同的零点x1,x2，求：①实数k的取值范围；②11的取值范围．x1x24试题解析：（1）f(x)0x21x2kx0kx21x20,x,x，10,1x21x2,x记g(x)x，易知g(x)在上0,1递增，在x1,x2x1,x1,上递减，∴g(x)maxg11，∴k1即可（2）①ⅰ）0x1时，方程f(x)0化为kx10，k0时，无解；k0时，x1；kⅱ）1x2时，方程f(x)0化为2x2kx10，xkk28，而其中4kk28kk1,2内至多有一解xkk28；0，故f(x)0在区间444综合ⅰ）ⅱ）可知，k0，且0x1时，方程f(x)0有一解x1kx2，故；k11时，方程f(x)0也仅有一解xkk28，令1kk282，得447k1，所以实数k的取值范围是7k1；9分22②方程f(x)0的两解分别为x1，x2kk28，1k411k4kkk28kk282,4x1x2kk28222x22．设函数f(x)ax(k1)ax(a0且a1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f(1)3，且g(x)a2xa2x2mf(x)在1,上的最小值为2，求m的值．2解析：（Ⅰ）由题意，对任意xR，，f(x)f(x)，即ax(k1)axax(k1)ax，(k2)(axax)0因为x为任意实数所以k2．（Ⅱ）由（1）f(x)axax，因为f(1)3，所以a13，解得a2故2a2f(x)2x2x，g(x)22x22x2m(2x2x)，令t2x2x，5则由x1,，得t3,，g(x)h(t)t22mt2(tm)22m2，2t3,当m3时，h(t)在3,上是增函数，则h(3)2，93m22，22224解得m2532，2m22，（舍去）．当m时，则f(m)122解得m2，或m2（舍去）．4．(2015·安模拟雅)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0.b求证：－20即b＋1b＋2<0，从而－2
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